Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 59 стр.

состоянием главные деформации находят как решение кубического
уравнения, получаемого при развертывании определителя:
                       γ yx          γ zx
           εx − ε
                         2            2
            γ xy                     γ zy
     ∆=              εy −ε                  =0
              2                       2
            γ xz       γ yz
                        εz −ε
           2       2
     произведя преобразования, получим
     ε 3 − I1 (Tε )ε 2 + I 2 (Tε )ε − I 3 (Tε ) = 0 ,                             (2.21)
     где
      I1 (Tε ) = ε x + ε y + ε z ;                                            ⎫
                                                                              ⎪
                                                2     2
                                              γ xy γ yz γ xz  2               ⎪
                                                                              ⎪
     I 2 (Tε ) = ε xε y + ε y ε z + ε z ε x −     −      −        ;           ⎬   (2.22)
                                                4    4        4               ⎪
                              1
                                (
     I 3 (Tε ) = ε xε y ε z + γ xyγ yzγ zx − ε yγ xz
                              4
                                                    2
                                                                     )    2 ⎪
                                                        − ε xγ 2yz − ε zγ xy .⎪
                                                                              ⎭
     В главных осях инварианты тензора деформаций имеют вид:
     I1 (Tε ) = ε1 + ε 2 + ε 3 ;
      I 2 (Tε ) = ε1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε1;                         (2.23)
      I 3 (Tε ) = ε1ε 2ε 3 .
      Первый инвариант тензора деформаций имеет следующий физический
смысл: с точностью до бесконечно малых второго порядка он выражает
относительное изменение объема деформируемого тела.
                  V − V0
      I1 (Tε ) = д                                                (2.24)
                    V0
      При упругой деформации объем тела изменяется (при растяжении –
увеличивается, при сжатии – уменьшается). Тщательные эксперименты
показали, что объем пластически деформируемого тела остается постоянным.
Это положение называется законом постоянства объема при пластической
деформации. Поэтому, первый инвариант тензора деформаций при
пластической деформации с точностью до бесконечно малых второго
порядка равен нулю. Следует оговориться, что пластическая деформация
всегда сопровождается упругой, особенно для процессов холодной
штамповки. При горячей штамповке упругими деформациями обычно можно
пренебречь.
      В главных осях тензор деформаций приводится к виду:
             ⎛ ε1 0 0 ⎞
             ⎜                ⎟
      Tε = ⎜ 0 ε 2 0 ⎟
             ⎜0 0 ε ⎟
             ⎝               3⎠

                                                                                       59