Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 63 стр.

      Для конечных деформаций произведением производных пренебречь
уже нельзя, поэтому компоненты тензора конечных деформаций имеют
более сложный вид:
      ε ij = (ui , j + u j ,i + u k ,i u k , j ) , i, j , k = x, y, z
            1
                                                                      (2.36)
            2
      Ввиду сложности эти формулы в теории обработки давлением не
используются. Если в этих формулах пренебречь произведением
производных, то мы придем к формулам Коши.
      На первый взгляд, возможно использовать подход при котором
конечную деформацию можно рассматривать как сумму нескольких
последовательных деформаций, каждая из которых является малой. Однако
такой подход не реализуем, поскольку деформации Коши не обладают
свойством аддитивности. Действительно, рассмотрим конечную деформацию
стержня начальной длиной L0 до величины L2 . Тогда относительная
деформация:
              L − L0
      ε 02 = 2
                L0
      Представим процесс растяжения стержня как сумму двух шагов –
сначала от L0 до L1 , а затем от L1 до L2 . Определим деформации на каждом
из этих шагов:
             L −L                     L −L
      ε 01 = 1 0 , ε12 = 2 1 .
               L0                          L1
      Очевидно, что ε 02 ≠ ε 01 + ε12
      Введем понятие бесконечно малой деформации или приращения
деформаций:
            dl
      dε = ,                                                          (2.37)
             l
      где l – текущая длина элементарного отрезка, dl – бесконечно малое ее
изменение.
      Проинтегрировав приращение деформаций вдоль траектории движения
материальной частицы, получим т.н. истинную деформацию.
      δ = ∫ dε                                                       (2.38)
          l
     В случае деформации стержня (траектория движения частицы –
прямая) приходим к логарифмической деформации
           L       L dl      L
      δ = ∫ dε = ∫      = ln                              (2.39)
           L0     L0 l       L0
     Поэтому для однородной деформации истинная деформация равна
логарифмической17.

17
  Не следует смешивать понятия истиной и логарифмической деформации. В
общем случае деформированного состояния они не равны друг другу.
                                                                          63