Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 65 стр.

     Введем по аналогии с компонентами малой деформации Коши ε ij
понятие компонентов приращения деформаций dε ij в виде:

      dε ij =
             1
             2
                (           )
                dui, j + du j ,i
                                                                        (2.42)
              ∂
      dε x = (du x );
             ∂x
                                    ⎡∂
                            dγ xy = ⎢ (du x ) +
                                      ∂y
                                                ( )
                                                 ∂
                                                 ∂x
                                                           ⎤
                                                     du y ⎥ = 2 ⋅ dε xy
                                    ⎣                      ⎦
     Тогда тензор приращения деформаций может быть записан
следующим образом:
                                        ⎛          1         1        ⎞
                                        ⎜ dε x       dγ yx     dγ zx ⎟
            ⎛ dε xx dε yx dε zx ⎞ ⎜                2         2        ⎟
            ⎜                       ⎟     1                  1
      Tdε = ⎜ dε xy dε yy dε zy ⎟ = ⎜ dγ xy          dε y      dγ zy ⎟  (2.43)
            ⎜                       ⎟   ⎜ 2                  2        ⎟
            ⎝ dε xz dε yz dε zz ⎠ ⎜ 1 dγ           1
                                                     dγ        d ε
                                                                      ⎟
                                        ⎜     xz         yz        z ⎟
                                        ⎝2         2                  ⎠
     Приращения деформаций, также как и относительные деформации
являются тензорными величинами и для них справедливы формулы,
аналогичные формулам для относительных деформаций18.
2.7. Закон постоянства объема при пластической деформации
     Вернемся еще раз к условию постоянства объема. Мы говорили, что
первый инвариант тензора малых деформаций с точностью до бесконечно
малых величин равен относительному изменению объема тела в процессе
деформации. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
     Пусть параллелепипед объемом V = xyz подвергается однородным
деформациям19 в направлении ребер. При этом направления главных осей
деформаций совпадают с ребрами параллелепипеда. Объем тела после
деформации V1 = x1 y1 z1 = ( x + ∆x )( y + ∆y )( z + ∆z ) . Относительное изменение
объема:
18
    В отличии от малых деформаций и приращений деформаций
логарифмические (истинные) деформации не являются тензорными
величинами.
19
   Возможно еще одно – более строгое математическое определение
однородной деформации:
Деформация, характеризующаяся тем, что перемещения являются
линейными     функциями     координат   и,    следовательно, величины
относительных деформаций постоянны, называется однородной.
Однородная деформация характеризуется тем, что два геометрически
подобных и подобно расположенных элемента тела и после деформации
остаются геометрически подобными. Таким образом, плоскость всегда
преобразуется в плоскость, цилиндр в цилиндр. Параллельные плоскости и
линии всегда остаются параллельными и после деформации.

                                                                                65