Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 66 стр.

     ∆V ( x + ∆x )( y + ∆y )( z + ∆z ) − xyz
          =                                  = (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) − 1
      V                       xyz
                                          ∆V
     Для пластической деформации              = 0 , тогда
                                          V
     (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) = 1
     Прологарифмировав, получим
     ln(1 + ε x ) + ln(1 + ε y ) + ln(1 + ε z ) = 0
     δx + δ y + δz = 0                                                              (2.44)
     Для малых деформаций δ ≅ ε
     εx + ε y + εz = 0                                                              (2.45)
     То же можно получить из:
     ∆V
          = 0 = (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) − 1 =
      V
     = 1 + ε x + ε y + ε z + ε xε y + ε y ε z + ε xε z + ε y ε xε z − 1 =
                                  для малых деформаций <<ε
      ≈ εx + εy + εz = 0
      Таким образом, для конечных деформаций, выраженных через
относительные деформации, условие (закон) постоянства объема
выполняется не строго. Точно условие постоянства объема выполняется для
логарифмических, или истинных деформаций, но они не являются
тензорными величинами.
      Из закона постоянства объема есть важное следствие. Одна из степеней
деформации имеет знак, противоположный знаку двух других, а по
абсолютной величине равна их сумме, т.е. максимальна по абсолютной
величине.
2.8. Условие совместности деформаций.
     Компоненты деформаций определяются тремя компонентами
перемещений. Компонент деформации 6, а компонент перемещений – 3.
Следовательно, компоненты деформаций не являются независимыми. Между
этими компонентами должны существовать зависимости, определяющие их
взаимосвязь между собой. Эти зависимости называют условиями
совместности деформаций.
     Ограничимся выводом уравнений совместности для плоской задачи.
При плоском напряженном и плоском деформированном состоянии все
деформации не зависят от одной координаты, вдоль которой либо
напряжение, либо деформация равны нулю. Будем считать для
определенности, что это координата z. Тогда деформации для плоской задачи
будут иметь вид:
          ∂u          ∂u y         ∂u    ∂u y
      εx = x ; ε y =       ; γ xy = x +
           ∂x          ∂y           ∂y    ∂x
                                                                                         66