Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 68 стр.

          ⎛        η xy    η xz ⎞
          ⎜ ξx                  ⎟
          ⎜         2       2 ⎟ ⎛ ξ xx ξ xy               ξ xz ⎞
          ⎜ η xy           η yz ⎟ ⎜                             ⎟ 1
     Tξ = ⎜        ξy             = ⎜ ξ xy ξ yy           ξ yz ⎟ = (vi, j + v j ,i )       (2.50)
          ⎜ 2               2 ⎟⎟ ⎜                                2
                   η yz             ⎝ ξ xz ξ yz           ξ zz ⎟⎠
          ⎜ η xz           ξz ⎟ ⎟
          ⎜ 2       2
          ⎝                     ⎠
     где
          ∂v                        ∂v y                         ∂v z
     ξx = x ;               ξy =           ;              ξz =        ;
           ∂x                       ∂y                            ∂z
                                                                (2.51)
            ∂v x ∂v y               ∂v y
                                    ∂v z          ∂v z ∂v x
     η xy =     +     ; η yz =    +      ; η zx =     +     ;
             ∂y   ∂x           ∂z    ∂y            ∂x   ∂z
     Рассмотрим физический смысл коэффициентов ξ ij . Для случая малой
деформации справедливо
         ∂u          ∂ε ij
     vi = i ⇒ ξ ij =       = ε ij                                                          (2.52)
          ∂t          ∂t
     Действительно, например для ξ xy :
     1 ⎛ ∂v    ∂v y ⎞     1 ⎡ ∂ ∂u             ∂ ∂u y ⎤    1 ⎡ ∂ ∂u        ∂ ∂u y ⎤    ∂
ξ xy = ⎜⎜ x +    ⎟= ⎢
                 ⎟
                            x +
                                      ⎥= ⎢
                                                 x +
                                                        ⎥ = ε xy = ε xy
      2 ⎝ ∂y  ∂x ⎠ 2 ⎣ ∂y ∂t    ∂x ∂t ⎦ 2 ⎣ ∂t ∂y ∂t ∂x ⎦ ∂t
      Таким образом, диагональные компоненты тензора скоростей
деформаций представляют собой скорости удлинения элементарных
отрезков, параллельных соответствующим координатным осям. Боковые
компоненты          - скорости искажения первоначально прямых углов,
расположенных в координатных плоскостях, т.е. скорости сдвиговых
деформаций. Поэтому часто тензор скоростей деформаций часто записывают
в виде:
           ⎧          1      1      ⎫
           ⎪    ε x     γ yx   γ zx ⎪
                      2      2
           ⎪⎪ 1              1      ⎪⎪
      Tε = ⎨ γ xy      εy      γ zy ⎬                           (2.53)
            ⎪  2             2       ⎪
               1
            ⎪ γ xz    1
                        γ zy  εz ⎪
            ⎪⎩ 2      2              ⎪⎭
      Следует отметить, что для интенсивностей скоростей деформаций и
                                                         ∂ε
интенсивности деформаций в общем случае справедливо ξ i ≠ i .
                                                          ∂t
      Тензор скоростей деформаций можно представить в виде суммы
шарового тензора и девиатора.
      Инварианты тензора и девиатора скоростей деформаций можно
получить из формул для инвариантов тензора и девиатора деформаций
заменой ε на ξ и γ на η .
      Аналогично можно определить и главные оси скоростей деформаций.
                                                                                                68