Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, деформаций три, а компонент перемещений – два,
следовательно, деформации зависимы.
Продифференцируем первое из равенств дважды по y, а второе –
дважды по x, после чего почленно сложим результаты, тогда:
y
xy
∂
z
uu ,
ρ
xx
u
y
u
xy
xy
u
yx
u
xy
y
x
y
x
y
x
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
=
∂∂
∂
+
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
γε
ε
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
(2.46)
Для осесимметричного напряженного состояния точки имеют два
независимых перемещения радиальное и осевое: . Деформированное
состояние определяется четырьмя деформациями:
ρ
ε
ρ
θ
u
=
ρ
ρ
∂
∂u
ε
ρ
=
, ,
ρ
γ
ρ
ρ
∂
∂
+
∂
∂
=
z
z
u
z
u
z
u
z
z
∂
∂
=
ε
, .
20
Таким образом, должно существовать два
уравнения совместности деформаций. Одно из них аналогично приведенному
выше:
z
z
z
z
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
ρ
γ
ρ
ε
ε
ρρ
2
2
2
2
2
(2.47)
Другое уравнение совместности деформаций может быть получено
следующим образом:
ρ
εε
ρ
ρρρρρ
ε
θρ
ρ
ρρ
θ
−
=−
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
∂
2
11
u
uu
v
(2.48)
2.9. Скорости деформации и скорости деформирования
Пусть частица среды движется со скоростью
, компоненты которой
равны:
()
(
)
(
)
,,,, tzyxtzyxvvtzyxvv
yyxx
,,,,,,,, vv
zz
=
=
=
(2.49)
Тензором скоростей деформаций называется тензор
20
При осесимметричном напряженно-деформированном состоянии
окружность переходит в окружность. Следует рассмотреть положение дуги
радиусом
ρ
и углом
θ
d
ρ
в положении до деформации и после деформации –
смещения на величину
u .
(
)
ρθρ
θ
ρ
θ
ρ
ε
ρρ
θ
u
d
ddu
MN
MNNM
=
=
∪
∪−∪
=
''
67
      Таким образом, деформаций три, а компонент перемещений – два,
следовательно, деформации зависимы.
      Продифференцируем первое из равенств дважды по y, а второе –
дважды по x, после чего почленно сложим результаты, тогда:
               2
      ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ 3u x    ∂ 3u y                      2
                                      ∂ 2 ⎛ ∂u x ∂u y ⎞ ∂ γ xy
            +      =       +        =     ⎜     +     ⎟=          (2.46)
                                          ⎜       ∂x ⎟⎠ ∂x∂y
       ∂y 2   ∂x 2   ∂x∂y 2 ∂y∂x 2 ∂y∂x ⎝ ∂y
      Для осесимметричного напряженного состояния точки имеют два
независимых перемещения радиальное и осевое: u ρ , u z . Деформированное
                                                                         ∂u ρ              uρ
состояние определяется четырьмя деформациями: ε ρ =                             ,   εθ =        ,
                                                                          ∂ρ               ρ
    ∂u z           ∂u ρ ∂u z 20
εz =     , γ ρz =        +     . Таким образом, должно существовать два
     ∂z             ∂z     ∂ρ
уравнения совместности деформаций. Одно из них аналогично приведенному
выше:
      ∂ 2ε ρ ∂ 2ε z ∂ 2γ ρz
              +        =                                         (2.47)
       ∂z 2     ∂ρ 2      ∂ρ∂z
     Другое уравнение совместности деформаций может быть получено
следующим образом:
      ∂εθ      ∂ ⎛ u ρ ⎞ ∂u ρ 1        1 ε ρ − εθ
            =    ⎜     ⎟=        − u ρ 2 =                       (2.48)
       ∂ρ ∂ρ ⎜⎝ ρ ⎟⎠ ∂ρ ρ             ρ      ρ
2.9. Скорости деформации и скорости деформирования
     Пусть частица среды движется со скоростью v , компоненты которой
равны:
     v x = v x ( x, y, z , t ), v y = v y ( x, y , z , t ), v z = v z ( x, y, z , t ), (2.49)
       Тензором скоростей деформаций называется тензор




20
    При осесимметричном напряженно-деформированном состоянии
окружность переходит в окружность. Следует рассмотреть положение дуги
радиусом ρ и углом dθ в положении до деформации и после деформации –
смещения на величину u ρ .
              ∪ M ' N '− ∪ MN (ρ + u ρ )dθ − ρdθ u ρ
       εθ =                  =                  =
                  ∪ MN                ρdθ         ρ

                                                                                            67

Страницы