Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 69 стр.

     Первый инвариант тензора скоростей деформаций характеризует
скорость относительного изменения объема. При пластической деформации
принимают гипотезу несжимаемости материала, поэтому
     ξ x + ξ y + ξ z = ξ1 + ξ 2 + ξ 3 = 0                      (2.54)
     Это равенство выполняется точно, в отличие от условия
несжимаемости, записанного для деформаций.
     Большую роль в теории пластичности играет второй инвариант
девиатора скорости деформации. С помощью второго инварианта можно
определить интенсивность скоростей деформации сдвига и интенсивность
скоростей деформаций.
          ( )
Η = 2 I 2 Dξ =

=
  2
  3
       (ξ x − ξ y ) + (ξ y − ξ z )
                    2                2
                                         + (ξ z − ξ x ) +
                                                         2
                                                             2
                                                              (
                                                             3 2        2
                                                               η xy + η yz     )
                                                                               2
                                                                           + η zx =

=
  2
  3
       (ξ xx − ξ yy ) + (ξ yy − ξ zz )
                        2                 2                   2
                                                                   (
                                              + (ξ zz − ε xx ) + 6 ξ xy
                                                                     2      2
                                                                        + ξ yz     2
                                                                               + ξ zx )
                                                                                      =
                                                                                          (2.55)
  2                                 2                2
                        + (ξ 2 − ξ3 ) + (ξ3 − ξ1 )
                    2
=      (ξ1 − ξ2 )
  3
ξi =
     2
             ( )
          I 2 Dξ =
                   Η
                                                                (2.56)
      3             3
     Следует различать скорость деформации и скорость деформирования.
Первая – определяет скорости относительных удлинений и сдвигов и имеет
размерность 1/с. Вторая – скорость материальных точек, обычной под ней
понимают скорость движения инструмента. Размерность скорости
деформирования – м/с.
     Оценим, как соотносятся скорость деформации и скорость
деформирования.      Предположим,    что    мы    производим     осадку
цилиндрического образца без трения с постоянной скоростью движения
инструмента v . Скорость деформирования элементарных объемов под
верхней плитой в этом случае равна скорости движения инструмента. В
некоторый промежуточный момент высота образца рана h . По высоте
образца скорости материальных точек будут изменяться по линейному
закону:
              z
      vz = v
              h
     Скорость деформирования в направлении оси образца:
            ∂v   v
      ξz = z =
             ∂z h
     Таким образом, при одинаковой скорости деформирования скорость
деформации будет тем больше, чем меньше линейные размеры
деформируемого тела в рассматриваемом направлении.


                                                                                               69