Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 64 стр.

     Истинные деформации, в отличие от малых, обладают свойствами
аддитивности. Используем пример с растяжением стержня за два шага.
Общая истинная деформация стержня:
               L
     δ 02 = ln 2
               L0
     Истинная деформации на промежуточных шагах:
               L              L
     δ 01 = ln 1 , δ12 = ln 2 .
               L0             L1
     Тогда:
                       L       L        LL       L
     δ 01 + δ12 = ln 1 + ln 2 = ln 1 2 = ln 2 = δ 02
                      L0       L1       L0 L1    L0
     Логарифмическая деформация может быть выражена через
относительную деформацию:
              L        ⎛ L + ∆L ⎞
     δ = ln       = ln⎜⎜ 0       ⎟⎟ = ln(1 + ε )
              L0       ⎝   L0     ⎠
                                                             ∆L
     Здесь ∆L - удлинение или абсолютная деформация, ε =         -
                                                             L0
относительная деформация.
     Рассмотрим вопрос о том, в каких пределах логарифмические
деформации можно заменить малыми. Разложим натуральный логарифм в
ряд:
                            ε2       ε3                     εn
     δ = ln(1 + ε ) = ε −        +        + … + (−1) n −1         (2.40)
                       2    3              n
     Этот ряд при ε < 1 - сходящийся. При ε < 0.1 разница между δ и ε не
                                 δ
превосходит 5% ( 0.95 <            < 1, т.е ε > δ ). При ε < 0.05 разница не
                                 ε
превосходит 2%. Поэтому деформации менее 5% считаются малыми, для них
истинные деформации равны относительным.
       Рассмотрим, как связаны приращения деформаций dε с приращениями
перемещений du . Пусть стержень постоянного поперечного сечения длиной
l , защемленный с одной стороны, получил абсолютную деформацию dl .
Если деформация однородна, то перемещения произвольной материальной
точки вдоль оси стержня пропорциональны расстоянию от защемленного
края:
                x
       du = dl
                l
       Рассмотрим частную производную:
        ∂
          (du ) = ∂ ⎛⎜ dl x ⎞⎟ = dl = dε                        (2.41)
       ∂x         ∂x ⎝ l ⎠ l
       Таким образом, приращение деформации есть частная производная по
координате от приращения перемещения.

                                                                          64