Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где K(t,s) ∈ L
2
[0,1] × L
2
[0,1], есть оператор Гильберта–
Шмидта;
к) если A — оператор Гильберта–Шмидта и B ∈ L(H), то
AB и BA — оператор Гильберта–Шмидта и при этом
kABk
2
6 kAk
2
kBk, kBAk
2
6 kAk
2
kBk.
л) при каком условии на последовательность λ
n
∈ R оператор
A : l
2
→ l
2
, Ax = (λ
1
x
1
,λ
2
x
2
, . . .) для x = (x
1
,x
2
, . . .) ∈ l
2
будет оператором Гильберта–Шмидта?
м) в пространстве l
2
построить вполне непрерывный опера-
тор, не являющийся оператором Гильберта–Шмидта.
3. Оператор A ∈ L(H) называется ядерным, если он представим
в виде A = BC, где B, C — операторы Гильберта–Шмидта.
Доказать, что если A — ядерный оператор, то
а) A — оператор Гильберта–Шмидта и, следовательно,
вполне непрерывный оператор;
б) AD и DA, где D ∈ L(H) — ядерные операторы;
в) A
∗
— ядерный оператор;
г) для любого ортонормированного базиса {e
n
}
n∈N
в H ряд
P
∞
n=1
(Ae
n
,e
n
) абсолютно сходится;
д) в пространстве l
2
привести пример ядерного оператора и
оператора Гильберта–Шмидта, не являющегося ядерным.
25
        где K(t,s) ∈ L2 [0,1] × L2 [0,1], есть оператор Гильберта–
        Шмидта;
     к) если A — оператор Гильберта–Шмидта и B ∈ L(H), то
        AB и BA — оператор Гильберта–Шмидта и при этом
        kABk2 6 kAk2 kBk, kBAk2 6 kAk2 kBk.
     л) при каком условии на последовательность λn ∈ R оператор
        A : l2 → l2 , Ax = (λ1 x1 ,λ2 x2 , . . .) для x = (x1 ,x2 , . . .) ∈ l2
        будет оператором Гильберта–Шмидта?
    м) в пространстве l2 построить вполне непрерывный опера-
        тор, не являющийся оператором Гильберта–Шмидта.
3. Оператор A ∈ L(H) называется ядерным, если он представим
   в виде A = BC, где B, C — операторы Гильберта–Шмидта.
   Доказать, что если A — ядерный оператор, то
     а) A — оператор Гильберта–Шмидта и, следовательно,
        вполне непрерывный оператор;
     б) AD и DA, где D ∈ L(H) — ядерные операторы;
     в) A∗ — ядерный оператор;
        для любого ортонормированного базиса {en }n∈N в H ряд
     г) P
          ∞
          n=1 (Aen ,en ) абсолютно сходится;
     д) в пространстве l2 привести пример ядерного оператора и
        оператора Гильберта–Шмидта, не являющегося ядерным.




                                                                            25

Страницы