Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

13. Элементы нелинейного анализа:
дифференцирование
1. Найти производную Фреше функционала f : H → R, если
а) f(x) = kAxk
2
, где a ∈ L(H),
б) x ∈ H = L
2
[0,1], f(x) =
R
1
0
x(t) dt
2
.
2. Исследовать функционал F : C[0,1] → R такой, что F (f) =
= max
x∈[0,1]
f(x) на дифференцируемость по Гато, по Фреше.
14. Элементы нелинейного анализа: теоремы
о неподвижных точках
1. Привести пример непрерывного отображения замкнутого еди-
ничного шара пространства l
2
в себя, не имеющего неподвиж-
ной точки.
2. Пусть A = (a
ij
) — n × n-матрица, a
ij
> 0, i,j = 1, . . . ,n. До-
казать, что у A имеется собственный вектор x = (x
1
, . . . ,x
n
), у
которого все x
i
> 0.
3. Доказать, что краевая задача
y
00
+ λ sin y = f(x), y(0) = y(1) = 0
имеет решение ∀λ ∈ R и ∀f ∈ C[0,1].
4. Имеется игра двух лиц с нулевой суммой (X,Y,K), где X,Y
— выпуклые компакты в банаховом пространстве, K(x,y) —
непрерывная на X × Y функция, вогнутая по x и выпуклая
по y. Доказать, что у такой игры существуют оптимальные
стратегии.
5. Свести к интегральному уравнению задачу y
00
= y
2
+ kx
2
,
y(0) = y(1) = 0, вычислив функцию Грина оператора (−y
00
).
При каких значениях k последовательность в модифицирован-
ном методе Ньютона сходится в пространстве C[0,1] при на-
чальном приближении y
0
≡ 0?
15. Исследовательские задачи
1. В пространстве l
2
рассмотрим оператор A, переводящий эле-
мент x = (x
1
,x
2
, . . .) ∈ l
2
в элемент Ax = (λ
1
x
1
,λ
2
x
2
, . . .), λ
n
∈
∈ R.
а) Доказать, что A — линейный.
23
          13. Элементы нелинейного анализа:
                 дифференцирование
1. Найти производную Фреше функционала f : H → R, если
    а) f (x) = kAxk2 , где a ∈ L(H),
                                R        2
                                   1
    б) x ∈ H = L2 [0,1], f (x) = 0 x(t) dt .
2. Исследовать функционал F : C[0,1] → R такой, что F (f ) =
   = max f (x) на дифференцируемость по Гато, по Фреше.
     x∈[0,1]


   14. Элементы нелинейного анализа: теоремы
             о неподвижных точках
1. Привести пример непрерывного отображения замкнутого еди-
   ничного шара пространства l2 в себя, не имеющего неподвиж-
   ной точки.
2. Пусть A = (aij ) — n × n-матрица, aij > 0, i,j = 1, . . . ,n. До-
   казать, что у A имеется собственный вектор x = (x1 , . . . ,xn ), у
   которого все xi > 0.
3. Доказать, что краевая задача
                   y 00 + λ sin y = f (x),   y(0) = y(1) = 0
   имеет решение ∀ λ ∈ R и ∀ f ∈ C[0,1].
4. Имеется игра двух лиц с нулевой суммой (X,Y,K), где X,Y
   — выпуклые компакты в банаховом пространстве, K(x,y) —
   непрерывная на X × Y функция, вогнутая по x и выпуклая
   по y. Доказать, что у такой игры существуют оптимальные
   стратегии.
5. Свести к интегральному уравнению задачу y 00 = y 2 + kx2 ,
   y(0) = y(1) = 0, вычислив функцию Грина оператора (−y 00 ).
   При каких значениях k последовательность в модифицирован-
   ном методе Ньютона сходится в пространстве C[0,1] при на-
   чальном приближении y0 ≡ 0?

               15. Исследовательские задачи
1. В пространстве l2 рассмотрим оператор A, переводящий эле-
   мент x = (x1 ,x2 , . . .) ∈ l2 в элемент Ax = (λ1 x1 ,λ2 x2 , . . .), λn ∈
   ∈ R.
     а) Доказать, что A — линейный.


                                                                          23

Страницы