Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12. Компактные операторы
1. Оператор A : C[0,1] → C[0,1] определяется равенством
(Ax)(t) =
Z
1
0
K(t,s)x(s) ds +
n
X
k=1
ϕ
k
(t)x(t
k
),
где K(t,s) непрерывна при 0 6 s, t 6 1, ϕ
k
(t) ∈ C[0,1], t
k
∈ [0,1].
Доказать, что A — компактен.
2. Доказать, что любой оператор A ∈ L(H), где H — гильбертово
пространство, является поточечным пределом последователь-
ности компактных операторов.
3. Пусть {e
n
}
n∈N
— ортонормированный базис в гильбертовом
пространстве H, Y — банахово пространство, A ∈ L(H,Y ) и
ряд
P
∞
n=1
kAe
n
k
2
сходится. Доказать, что A — компактен.
4. Доказать, что область значений компактного оператора сепа-
рабельна.
5. Пусть {e
n
}
n∈N
— ортонормированный базис гильбертова про-
странства H, A — компактный оператор, действующий из H
в H. Доказать, что Ae
n
→ 0.
6. Доказать, что любой линейный непрерывный оператор, дей-
ствующий из l
2
в l
1
— компактен.
7. Может ли оператор A : C[0,1] → C[0,1]
(Ax)(t) =
Z
1
0
K(t,s)x(s) ds,
где K(t,s) непрерывна при 0 6 s, t 6 1, иметь ограниченный
обратный?
8. Пусть X — банахово пространство, A ∈ L(X) и существует
c > 0 такое, что для любого x ∈ X kAxk > ckxk. Может ли
оператор A быть компактным?
9. Пусть A — диагональный оператор в l
2
: Ax = (λ
1
x
1
,λ
2
x
2
, . . .).
а) Доказать, что σ(A) =
{λ
n
}.
б) Доказать, что A компактен ⇔ λ
n
→ 0.
10. Является ли преобразование Фурье F f(x) =
R
∞
−∞
f(y)e
−ixy
dy
компактным оператором в случае
а) F : L
2
(R) → L
2
(R),
б) F : L
1
(R) → BC(R).
11. Пусть E — банахово, H — гильбертово пространства. Пусть
A ∈ L(E,H) — компактный оператор. Доказать, что су-
21
                  12. Компактные операторы
 1. Оператор A : C[0,1] → C[0,1] определяется равенством
                        Z 1                 n
                                            X
             (Ax)(t) =      K(t,s)x(s) ds +   ϕk (t)x(tk ),
                             0                  k=1
      где K(t,s) непрерывна при 0 6 s, t 6 1, ϕk (t) ∈ C[0,1], tk ∈ [0,1].
      Доказать, что A — компактен.
 2.   Доказать, что любой оператор A ∈ L(H), где H — гильбертово
      пространство, является поточечным пределом последователь-
      ности компактных операторов.
 3.   Пусть {en }n∈N — ортонормированный базис в гильбертовом
      пространстве
          P∞        H, Y — банахово пространство, A ∈ L(H,Y ) и
      ряд n=1 kAen k2 сходится. Доказать, что A — компактен.
 4.   Доказать, что область значений компактного оператора сепа-
      рабельна.
 5.   Пусть {en }n∈N — ортонормированный базис гильбертова про-
      странства H, A — компактный оператор, действующий из H
      в H. Доказать, что Aen → 0.
 6.   Доказать, что любой линейный непрерывный оператор, дей-
      ствующий из l2 в l1 — компактен.
 7.   Может ли оператор A : C[0,1] → C[0,1]
                                  Z 1
                        (Ax)(t) =     K(t,s)x(s) ds,
                                     0
      где K(t,s) непрерывна при 0 6 s, t 6 1, иметь ограниченный
      обратный?
 8.   Пусть X — банахово пространство, A ∈ L(X) и существует
      c > 0 такое, что для любого x ∈ X kAxk > ckxk. Может ли
      оператор A быть компактным?
 9.   Пусть A — диагональный оператор в l2 : Ax = (λ1 x1 ,λ2 x2 , . . .).
        а) Доказать, что σ(A) = {λn }.
        б) Доказать, что A компактен ⇔ λn → 0. R
                                                   ∞
10.   Является ли преобразование Фурье F f (x) = −∞ f (y)e−ixy dy
      компактным оператором в случае
        а) F : L2 (R) → L2 (R),
        б) F : L1 (R) → BC(R).
11.   Пусть E — банахово, H — гильбертово пространства. Пусть
      A ∈ L(E,H) — компактный оператор. Доказать, что су-


                                                                       21

Страницы