Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

= (x
n+1
,x
n+2
, . . .). Найти A
∗
n
и выяснить, являются ли после-
довательности A
n
и A
∗
n
сходящимися поточечно?
4. Доказать, что оператор A : L
2
[0,1] → L
2
[0,1]
(Ax)(t) =
Z
1
0
e
s+t
x(s) ds
есть самосопряжённый и неотрицате льный.
5. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом про-
странстве H. Доказать, что
а) kAk = sup
kxk61
|(Ax,x)|;
б) kAk = sup
kxk=1
kyk=1
|(Ax,y)|.
6. Пусть A ∈ L(H). Доказать, что оператор (I + AA
∗
)
−1
суще-
ствует.
7. Пусть A — самосопряжённый неотрицательный оператор в
гильбертовом пространстве H. Доказать, что оператор (I +
+ A)
−1
существует.
8. В пространстве R
2
оператор A переводит x =
x
1
x
2
в Ax =
=
2x
1
+3x
2
3x
1
+5x
2
. Доказать, что A ∈ L(R
2
) — самосопряжённый и
неотрицательный. Найти
√
A.
9. A ∈ L(l
2
) : Ax = (0,x
1
,x
2
, . . .). Найти σ(A) и σ(A
∗
).
10. Пусть E — банахово пространство, оператор A ∈ L(L
2
[0,1],E).
Пусть =A
∗
⊃ C[0,1]. Найти Ker A.
11. Пусть H — гильбертово пространство, оператор A : H → H
линеен и (Ax,y) = (x,Ay) для всех x,y ∈ H. Доказать, что
A ∈ L(H).
12. Пусть E
1
и E
2
— нормированные пространства, A ∈ L(E
1
,E
2
),
причем существует A
−1
∈ L(E
2
,E
1
). Доказать, что существует
(A
∗
)
−1
∈ L(E
∗
1
,E
∗
2
), причем (A
∗
)
−1
= (A
−1
)
∗
.
13. Пусть H — гильб е ртово пространство, A ∈ L(H) — самосо-
пряжённый оператор. Доказать, что kA
n
k = kAk
n
для любого
n ∈ N.
14. Пусть E — рефлексивное банахово пространство и A ∈ L(E).
Доказать, что A
∗∗
= A.
15. Пусть H — гильб е ртово пространство, A ∈ L(H) — самосо-
пряжённый оператор. Доказать, что σ
R
(A) = ∅. Верно ли, что
σ(A) = cl
σ
P
(A)
?
20
        = (xn+1 ,xn+2 , . . .). Найти A∗n и выяснить, являются ли после-
        довательности An и A∗n сходящимися поточечно?
     4. Доказать, что оператор A : L2 [0,1] → L2 [0,1]
                                          Z 1
                                (Ax)(t) =     es+t x(s) ds
                                       0
        есть самосопряжённый и неотрицательный.
     5. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом про-
        странстве H. Доказать, что
          а) kAk = sup |(Ax,x)|;
                   kxk61
         б) kAk = sup |(Ax,y)|.
                   kxk=1
                   kyk=1

  6. Пусть A ∈ L(H). Доказать, что оператор (I + AA∗ )−1 суще-
     ствует.
  7. Пусть A — самосопряжённый неотрицательный оператор в
     гильбертовом пространстве H. Доказать, что оператор (I +
     + A)−1 существует.
  8. В пространстве R2 оператор A переводит x = xx12 в Ax =
                                                                

     = 2x  1 +3x2
                                        A ∈ L(R2 ) — самосопряжённый и
                  
         3x1 +5x2 . Доказать, что    √
     неотрицательный. Найти A.
  9. A ∈ L(l2 ) : Ax = (0,x1 ,x2 , . . .). Найти σ(A) и σ(A∗ ).
 10. Пусть E — банахово пространство, оператор A ∈ L(L2 [0,1],E).
     Пусть =A∗ ⊃ C[0,1]. Найти Ker A.
 11. Пусть H — гильбертово пространство, оператор A : H → H
     линеен и (Ax,y) = (x,Ay) для всех x,y ∈ H. Доказать, что
     A ∈ L(H).
 12. Пусть E1 и E2 — нормированные пространства, A ∈ L(E1 ,E2 ),
     причем существует A−1 ∈ L(E2 ,E1 ). Доказать, что существует
     (A∗ )−1 ∈ L(E1∗ ,E2∗ ), причем (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
 13. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ L(H) — самосо-
     пряжённый оператор. Доказать, что kAn k = kAkn для любого
     n ∈ N.
 14. Пусть E — рефлексивное банахово пространство и A ∈ L(E).
     Доказать, что A∗∗ = A.
 15. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ L(H) — самосо-
     пряжённый   оператор.
                              Доказать, что σR (A) = ∅. Верно ли, что
     σ(A) = cl σP (A) ?


20

Страницы