Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ществует последовательность {A
n
} ⊂ L(E,H) такая, что
dim =A
n
< ∞ для всех n, a kA
n
− Ak → 0 при n → ∞.
12. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, A ∈
∈ L(H) — компактный самосопряжённый оператор. Доказать,
что для любого ε > 0 существует подпространство Γ
ε
⊂ H ко-
нечной коразмерности такое, что оператор A
ε
= A+εI является
неотрицательно определенным на Γ
ε
.
13. Пусть A ∈ L(l
2
), причем (Ax)(n) =
P
∞
k=1
a
nk
x(k), где
P
n,k
|a
nk
|
2
< ∞. Найти сопряженный оператор A
∗
. Является
ли A компактным оператором?
14. Пусть E — банахово пространство, A ∈ L(E) — компактный
оператор. Доказать, что для любого λ 6= 0 подпространство
Ker(A − λI) конечномерно, а =(A − λI) замкнуто. Доказать,
что существует последовательность x
n
такая, что kx
n
k = 1, а
kAx
n
k → 0 при n → ∞.
15. Пусть K(·,·) ∈ C ([0,1] × [0,1]). Пусть оператор A : C[0,1] →
→ C[0,1] определен следующим образом: (Af)(x) =
=
R
1
0
K(x,t)f(t) dt для любых f ∈ C[0,1], x ∈ [0,1]. Доказать,
что A ∈ L(C[0,1]), оценить сверху kAk. Является ли A ком-
пактным оператором?
16. Пусть K(·,·) ∈ L
2
([0,1] × [0,1]). Пусть оператор A : L
2
[0,1] →
→ L
2
[0,1] определен следующим образом: (Af)(x) =
=
R
1
0
K(x,t)f(t) dt для любых f ∈ L
2
[0,1], x ∈ [0,1]. Доказать,
что A ∈ L(L
2
[0,1]), вычислить kAk. Является ли A компакт-
ным оператором?
17. Пусть множество M ⊂ C
1
[0,1] является подпространством в
C[0,1]. Доказать, что dim M < ∞.
18. Найти норму оператора Вольтерра
(Af)(x) =
Z
x
0
f(t) dt в L(L
2
[0,1]).
19. Будет ли оператор
d
dx
: C
1
[0,1] → C[0,1] компактным? Дока-
зать, что оператор
d
dx
: C
2
[0,1] → C[0,1] является компактным.
20. Доказать, что оператор A ∈ L(C[0,1]) : (Af)(x) = f(x
2
) не
является компактным.
22
       ществует последовательность {An } ⊂ L(E,H) такая, что
       dim =An < ∞ для всех n, a kAn − Ak → 0 при n → ∞.
 12.   Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, A ∈
       ∈ L(H) — компактный самосопряжённый оператор. Доказать,
       что для любого ε > 0 существует подпространство Γε ⊂ H ко-
       нечной коразмерности такое, что оператор Aε = A+εI является
       неотрицательно определенным на Γε .          P∞
 13.   Пусть    A    ∈ L(l 2 ), причем  (Ax)(n) =     k=1 ank x(k), где
                   2                                       ∗
       P
         n,k |ank | < ∞. Найти сопряженный оператор A . Является
       ли A компактным оператором?
 14.   Пусть E — банахово пространство, A ∈ L(E) — компактный
       оператор. Доказать, что для любого λ 6= 0 подпространство
       Ker(A − λI) конечномерно, а =(A − λI) замкнуто. Доказать,
       что существует последовательность xn такая, что kxn k = 1, а
       kAxn k → 0 при n → ∞.
 15.   Пусть K(·,·) ∈ C ([0,1] × [0,1]). Пусть оператор A : C[0,1] →
       → R C[0,1] определен следующим образом:             (Af )(x) =
           1
       = 0 K(x,t)f (t) dt для любых f ∈ C[0,1], x ∈ [0,1]. Доказать,
       что A ∈ L(C[0,1]), оценить сверху kAk. Является ли A ком-
       пактным оператором?
 16.   Пусть K(·,·) ∈ L2 ([0,1] × [0,1]). Пусть оператор A : L2 [0,1] →
       → R L2 [0,1] определен следующим образом:           (Af )(x) =
           1
       = 0 K(x,t)f (t) dt для любых f ∈ L2 [0,1], x ∈ [0,1]. Доказать,
       что A ∈ L (L2 [0,1]), вычислить kAk. Является ли A компакт-
       ным оператором?
 17.   Пусть множество M ⊂ C 1 [0,1] является подпространством в
       C[0,1]. Доказать, что dim M < ∞.
 18.   Найти норму оператора Вольтерра

                                  Z   x
                     (Af )(x) =           f (t) dt   в L(L2 [0,1]).
                                  0


                          d
 19. Будет ли оператор dx   : C 1 [0,1] → C[0,1] компактным? Дока-
                         d
     зать, что оператор dx : C 2 [0,1] → C[0,1] является компактным.
 20. Доказать, что оператор A ∈ L(C[0,1]) : (Af )(x) = f (x2 ) не
     является компактным.



22

Страницы