Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

б) При каких условиях на λ
n
оператор A будет ограниченным
оператором, действующим из l
2
в l
2
?
в) Найти kAk.
г) Всегда ли найдётся x ∈ l
2
, x 6= 0, такой, что kAxk =
= kAkkxk?
д) При каких условиях на последовательность λ
n
существует
обратный оператор A
−1
?
е) При каких условиях на λ
n
обратный оператор A
−1
будет
ограничен?
ж) Найти спектр оператора A (при условии его ограниченно-
сти).
з) На множестве регулярных значений оператора A постро-
ить резольвенту.
2. Пусть {e
n
}
n∈N
— ортонормированный базис в гильбертовом
пространстве H. Оператор A ∈ L(H) называется оператором
Гильберта–Шмидта, если величина
kAk
2
2
=
∞
X
n=1
kAe
n
k
2
конечна. Доказать, что
а) величина kAk
2
не зависит от выбора базиса в H.
б) kAk 6 kAk
2
;
в) kAk
2
= kA
∗
k
2
;
г) величина kAk
2
, определённая на класс операторов
Гильберта–Шмидта, является нормой;
д) в пространстве L(H) операторы Гильберта–Шмидта
образуют линейное многообразие;
е) равенство
(A,B) =
∞
X
n=1
(Ae
n
,Be
n
)
задаёт на классе операторов Гильберта–Шмидта скаляр-
ное произведение;
ж) операторы Гильберта–Шмидта образуют банахово про-
странство относительно kAk
2
;
з) всякий оператор Гильберта–Шмидта вполне непрерывен;
и) оператор A : L
2
[0,1] → L
2
[0,1]
(Ax)(t) =
Z
1
0
K(t,s)x(s) ds,
24
         б) При каких условиях на λn оператор A будет ограниченным
             оператором, действующим из l2 в l2 ?
         в) Найти kAk.
          г) Всегда ли найдётся x ∈ l2 , x 6= 0, такой, что kAxk =
             = kAk kxk?
         д) При каких условиях на последовательность λn существует
             обратный оператор A−1 ?
          е) При каких условиях на λn обратный оператор A−1 будет
             ограничен?
         ж) Найти спектр оператора A (при условии его ограниченно-
             сти).
          з) На множестве регулярных значений оператора A постро-
             ить резольвенту.
     2. Пусть {en }n∈N — ортонормированный базис в гильбертовом
        пространстве H. Оператор A ∈ L(H) называется оператором
        Гильберта–Шмидта, если величина
                                     ∞
                                     X
                                 2
                              kAk2 =    kAen k2
                                   n=1
       конечна. Доказать, что
         а) величина kAk2 не зависит от выбора базиса в H.
         б) kAk 6 kAk2 ;
         в) kAk2 = kA∗ k2 ;
         г) величина kAk2 , определённая на класс операторов
            Гильберта–Шмидта, является нормой;
         д) в пространстве L(H) операторы Гильберта–Шмидта
            образуют линейное многообразие;
         е) равенство
                                     X∞
                             (A,B) =    (Aen ,Ben )
                                    n=1
           задаёт на классе операторов Гильберта–Шмидта скаляр-
           ное произведение;
        ж) операторы Гильберта–Шмидта образуют банахово про-
           странство относительно kAk2 ;
        з) всякий оператор Гильберта–Шмидта вполне непрерывен;
        и) оператор A : L2 [0,1] → L2 [0,1]
                                      Z 1
                           (Ax)(t) =      K(t,s)x(s) ds,
                                     0


24

Страницы