Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6. Доказать, что в конечномерных нормированных пространствах
слабая сходимость совпадает со сходимостью по норме.
7. Доказать, что из слабой сходимости последовательности эле-
ментов пространства l
1
следует ее сходимость по норме.
8. Пусть H — гильбертово пространство, kx
n
− xk → 0, y
n
сл.
→ y.
Доказать, что (x
n
,y
n
) → (x,y). Можно ли условие kx
n
−xk → 0
заменить более слабым x
n
сл.
→ x?
9. Пусть последовательность x
n
гильбертова пространства H
слабо сходится к x, причем kx
n
k → kxk при n → ∞. Дока-
зать, что kx
n
−xk → 0 при n → ∞. Верно ли это утверждение
для произвольного банахова пространства?
10. Пусть E — банахово пространство, последовательность {x
n
} ⊂
⊂ B
1
(0) и слабо сходится к x. Доказать, что x ∈ B
1
(0).
11. Пусть E — банахово пространство, последовательность {x
n
}
слабо сходится к x. Доказать, что kxk 6 lim
n→∞
kx
n
k.
12. Пусть последовательность {x
n
} ⊂ l
1
, причем x
n
(k) → x(k) при
n → ∞ для любого k ∈ N. Верно ли, что x ∈ l
1
? Если спра-
ведливо последнее включение, верно ли, что x
n
сходится к x
слабо?
13. Пусть последовательность {f
n
} ⊂ L
1
[0,1]. Верно ли, что f
n
схо-
дится поточечно на [0,1] тогда и только тогда, когда сходится
слабо?
14. Пусть U = {f ∈ L
1
[0,1] : |f (t)| 6 1 п. в. t ∈ [0,1]}. Доказать,
что U слабо секвенциально компактно в L
1
[0,1].
11. Сопряжённые операторы.
Самосопряжённые операторы
1. Найти сопряжённый к оператору A : L
2
[0,1] → L
2
[0,1], если
а) (Ax)(t) =
R
1
0
tx(s) ds;
б) (Ax)(t) =
R
t
0
sx(s) ds.
2. Пусть H — вещественное гильбертово пространство; x
k
∈ H,
a
k
∈ R(k = 1,n). Доказать, что
sup
P
a
2
k
61
n
X
k=1
a
k
x
k
= sup
kxk61
n
X
k=1
(x,x
k
)
2
!
1/2
.
3. В пространстве l
2
для x = (x
1
,x
2
, . . .) ∈ l
2
положим A
n
x =
19
 6. Доказать, что в конечномерных нормированных пространствах
    слабая сходимость совпадает со сходимостью по норме.
 7. Доказать, что из слабой сходимости последовательности эле-
    ментов пространства l1 следует ее сходимость по норме.
                                                              сл.
 8. Пусть H — гильбертово пространство, kxn − xk → 0, yn → y.
    Доказать, что (xn ,yn ) → (x,y). Можно ли условие kxn − xk → 0
                                сл.
    заменить более слабым xn → x?
 9. Пусть последовательность xn гильбертова пространства H
    слабо сходится к x, причем kxn k → kxk при n → ∞. Дока-
    зать, что kxn − xk → 0 при n → ∞. Верно ли это утверждение
    для произвольного банахова пространства?
10. Пусть E — банахово пространство, последовательность {xn } ⊂
    ⊂ B1 (0) и слабо сходится к x. Доказать, что x ∈ B1 (0).
11. Пусть E — банахово пространство, последовательность {xn }
    слабо сходится к x. Доказать, что kxk 6 lim kxn k.
                                                       n→∞
12. Пусть последовательность {xn } ⊂ l1 , причем xn (k) → x(k) при
    n → ∞ для любого k ∈ N. Верно ли, что x ∈ l1 ? Если спра-
    ведливо последнее включение, верно ли, что xn сходится к x
    слабо?
13. Пусть последовательность {fn } ⊂ L1 [0,1]. Верно ли, что fn схо-
    дится поточечно на [0,1] тогда и только тогда, когда сходится
    слабо?
14. Пусть U = {f ∈ L1 [0,1] : |f (t)| 6 1 п. в. t ∈ [0,1]}. Доказать,
    что U слабо секвенциально компактно в L1 [0,1].

              11. Сопряжённые операторы.
              Самосопряжённые операторы
 1. Найти сопряжённый
                  R1     к оператору A : L2 [0,1] → L2 [0,1], если
      а) (Ax)(t) = 0 tx(s) ds;
                  Rt
      б) (Ax)(t) = 0 sx(s) ds.
 2. Пусть H — вещественное гильбертово пространство; xk ∈ H,
    ak ∈ R(k = 1,n). Доказать, что

                           n                    n
                                                                 !1/2
                           X                    X
                                                             2
                sup              ak xk = sup          (x,xk )           .
                  a2k 61                kxk61
              P
                           k=1                  k=1

 3. В пространстве l2 для x = (x1 ,x2 , . . .) ∈ l2 положим An x =


                                                                            19

Страницы