Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

нейные функционалы на E. Доказать, что следующие свойства
эквивалентны:
а) существуют скаляры α
1
,. . . ,α
n
такие, что f =
P
n
i=1
α
i
f
i
;
б) существует M > 0 такое, что kfk 6 M max
16i6n
kf
i
k;
в) f(x) = 0 для всех x ∈
T
n
i=1
Ker f
i
.
3. Пусть L — замкнутое линейное подпространство нормирован-
ного пространства X и y ∈ X, y /∈ L. Доказать, что найдется
функционал f на X такой, что f|
L
≡ 0, f(y) = 1 и kfk =
= 1/ρ(y,L).
4. Привести пример функционала в пространстве C[a,b], не до-
стигающего своей нормы.
5. Доказать, что непрерывный линейный функционал f в нор-
мированном пространстве X достигает своей нормы тогда и
только тогда, когда для некоторого (и тогда для любого) эле-
мента x ∈ X \ Ker f существует элемент наилучшего прибли-
жения в Ker f.
6. Рассмотреть следующие два множества в R
3
:
A = {(x,y,z) : x > 0,y > 0,z > 0,z
2
6 xy},
B = {(x,y,z) : x = 0,z = 1}.
Показать, что оба они выпуклы, замкнуты, не пересекаются
и одно из них имеет непустую внутренность. Существует ли
функционал f на R
3
такой, что ∀u ∈ A, ∀v ∈ B f(u) < f (v)?
7. Пусть E — банахово пространство, {x
n
} ⊂ E и sup
n
|f(x
n
)| < ∞
∀f ∈ E
∗
. Доказать, что sup
n
kx
n
k < ∞.
8. Пусть M = {x ∈ l
1
:
P
∞
n=1
x
2n
= 0}, функционал f на мно-
гообразии M задан формулой f(x) =
P
∞
n=1
x
2n−1
. Привести
примеры различных продолжений f до функционала
˜
f ∈ l
∗
1
с
сохранением нормы.
9. Пусть L ⊂ H — линейное многогобразие в гильбертовом про-
странстве, f — линейный непрерывный функционал на L. До-
казать, что ∃!
˜
f ∈ H
∗
:
˜
f|
L
= f, k
˜
fk = kf k.
10. Доказать, что взятие интеграла Римана от непрерывной функ-
ции на отрезке [a,b] есть непрерывный линейный функционал
на C[a,b].
17
      нейные функционалы на E. Доказать, что следующие свойства
      эквивалентны:
        а) существуют скаляры α1 ,. . . ,αn такие, что f = ni=1 αi fi ;
                                                          P
        б) существует M > 0 такое, что kf k 6 M max kfi k;
                                                    16i6n
        в) f (x) = 0 для всех x ∈ ni=1 Ker fi .
                                 T
 3.   Пусть L — замкнутое линейное подпространство нормирован-
      ного пространства X и y ∈ X, y ∈   / L. Доказать, что найдется
      функционал f на X такой, что f |L ≡ 0, f (y) = 1 и kf k =
      = 1/ρ(y,L).
 4.   Привести пример функционала в пространстве C[a,b], не до-
      стигающего своей нормы.
 5.   Доказать, что непрерывный линейный функционал f в нор-
      мированном пространстве X достигает своей нормы тогда и
      только тогда, когда для некоторого (и тогда для любого) эле-
      мента x ∈ X \ Ker f существует элемент наилучшего прибли-
      жения в Ker f .
 6.   Рассмотреть следующие два множества в R3 :

                 A = {(x,y,z) : x > 0,y > 0,z > 0,z 2 6 xy},
                        B = {(x,y,z) : x = 0,z = 1}.

    Показать, что оба они выпуклы, замкнуты, не пересекаются
    и одно из них имеет непустую внутренность. Существует ли
    функционал f на R3 такой, что ∀ u ∈ A, ∀ v ∈ B f (u) < f (v)?
 7. Пусть E — банахово пространство, {xn } ⊂ E и sup |f (xn )| < ∞
                                                        n
    ∀ f ∈ E ∗ . Доказать, что sup kxn k < ∞.
                              P∞ n
 8. Пусть M = {x ∈ l1 :          n=1 x2n = 0}, P функционал f на мно-
                                                    ∞
    гообразии M задан формулой f (x) =              n=1 x2n−1 . Привести
    примеры различных продолжений f до функционала f˜ ∈ l1∗ с
    сохранением нормы.
 9. Пусть L ⊂ H — линейное многогобразие в гильбертовом про-
    странстве, f — линейный непрерывный функционал на L. До-
    казать, что ∃!f˜ ∈ H ∗ : f˜|L = f , kf˜k = kf k.
10. Доказать, что взятие интеграла Римана от непрерывной функ-
    ции на отрезке [a,b] есть непрерывный линейный функционал
    на C[a,b].


                                                                     17

Страницы