Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

13. Какие множества на комплексной плоскости могут являться
спектром некоторого ограниченного оператора в l
2
?
14. Найти спектр и собственные значения оператора умножения на
фиксированную непрерывную функцию в пространстве C[a,b].
15. Найти спектр оператора A ∈ L(L
2
(R))
(Af)(x) =
Z
+∞
−∞
f(y) dy
1 + (x − y)
2
.
8. Мера и интеграл Лебега
1. Доказать, что C[a,b] плотно в L
1
[a,b].
2. Пусть f
n
— последовательность изме римых функций на [a,b].
Сравнить сходимости: в среднем, среднем квадратичном, по-
чти всюду.
3. Доказать, что из интегрируемости по Риману функции, задан-
ной на отрезке, следует ее интегрируемость по Лебегу.
4. Доказать с помощью теоремы Лебега о предельном переходе
под знаком интеграла, что
lim
ε→+0
1
ε
√
π
e
−x
2
/ε
2
= δ(x).
5. Доказать, что все открытые и все замкнутые множества на
плоскости измеримы по Лебегу.
6. Пусть f — непрерывно дифференцируемая функция, опреде-
лённая на вещественной оси. Пусть A ⊂ R и известно, что
µ(A) = 0. Доказать, что µ (f(A)) = 0.
7. Применить теорему Егорова к последовательности функций
f
n
(x) = x
n
на отрезке [0,1] .
8. Пусть {r
n
}
∞
n=1
— рациональные числа на отрезке [0,1]. Дока-
зать, что ряд
∞
X
n=1
1
n
2
|x − r
n
|
1/2
сходится почти всюду на [0,1].
9. Пусть функции f
n
∈ R[0,1], причем f
n
⇒ f на [0,1] при n →
→ ∞. Доказать, что f ∈ R[0,1], причем справедливо равенство
lim
n→∞
R
1
0
f
n
(x) dx =
R
1
0
f(x) dx.
10. Пусть M — множество вещественных кусочно-постоянных на
отрезке [0,1] функций. Пусть множество N является замыка-
15
13. Какие множества на комплексной плоскости могут являться
    спектром некоторого ограниченного оператора в l2 ?
14. Найти спектр и собственные значения оператора умножения на
    фиксированную непрерывную функцию в пространстве C[a,b].
15. Найти спектр оператора A ∈ L(L2 (R))
                               Z +∞
                                     f (y) dy
                    (Af )(x) =                2
                                                .
                                −∞ 1 + (x − y)


               8. Мера и интеграл Лебега
 1. Доказать, что C[a,b] плотно в L1 [a,b].
 2. Пусть fn — последовательность измеримых функций на [a,b].
    Сравнить сходимости: в среднем, среднем квадратичном, по-
    чти всюду.
 3. Доказать, что из интегрируемости по Риману функции, задан-
    ной на отрезке, следует ее интегрируемость по Лебегу.
 4. Доказать с помощью теоремы Лебега о предельном переходе
    под знаком интеграла, что
                             1    2 2
                        lim  √ e−x /ε = δ(x).
                       ε→+0 ε π

 5. Доказать, что все открытые и все замкнутые множества на
    плоскости измеримы по Лебегу.
 6. Пусть f — непрерывно дифференцируемая функция, опреде-
    лённая на вещественной оси. Пусть A ⊂ R и известно, что
    µ(A) = 0. Доказать, что µ (f (A)) = 0.
 7. Применить теорему Егорова к последовательности функций
    fn (x) = xn на отрезке [0,1] .
 8. Пусть {rn }∞ n=1 — рациональные числа на отрезке [0,1]. Дока-
    зать, что ряд
                               ∞
                              X         1
                              n=1
                                  n |x − rn |1/2
                                   2

    сходится почти всюду на [0,1].
 9. Пусть функции fn ∈ R[0,1], причем fn ⇒ f на [0,1] при n →
    → ∞.R Доказать, что R 1 f ∈ R[0,1], причем справедливо равенство
           1
     lim     fn (x) dx = 0 f (x) dx.
    n→∞ 0
10. Пусть M — множество вещественных кусочно-постоянных на
    отрезке [0,1] функций. Пусть множество N является замыка-


                                                                 15

Страницы