Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

27. Назовём операторной экспонентой e
A
оператор вида: e
A
=
=
P
∞
k=0
A
k
k!
(A
0
= I — тождественный оператор).
Доказать, что если X — банахово пространство, A ∈ L(X),
то оператор e
A
∈ L(X), ke
A
k 6 e
kAk
. Чему равно e
I
?
28. Пусть X — банахово пространство, A ∈ L(X). Доказать, что
ряд
P
∞
k=0
A
k
сходится в L(X) тогда и только тогда, когда для
некоторого натурального k выполняется неравенство kA
k
k < 1.
29. Пусть A
n
— оператор кусочно-линейной интерполяции в C[a,b]
по n равноотстоящим узлам. Исследовать последовательность
{A
n
} на сходимость (по норме и поточечную).
30. Пусть оператор U определён всюду в комплексном гильберто-
вом пространстве H и отображает его на все H. Он называется
унитарным, если для любых x,y ∈ H выполняется равенство
(Ux,U y) = (x,y). Доказать, что
а) унитарный оператор линеен и ограничен;
б) унитарный оператор имеет обратный, который также уни-
тарен;
в) произведение двух унитарных операторов есть унитарный
оператор.
7. Обратный оператор, спектр, резольвента
1. Пусть E — банахово пространство, A ∈ L(E). Доказать, что
σ(A
n
) = {λ
n
|λ ∈ σ(A)}.
2. Пусть X — линейное пространство, A : X → X — линейный
оператор, удовлетворяющий при некоторых λ
k
∈ R соотноше-
нию I + λ
1
A + λ
2
A
2
+ . . . + λ
n
A
n
= θ (θ — нулевой, I — тожде-
ственный оператор). Доказать, что A
−1
существует.
3. Доказать, что оператор A : C
1
[0,1] → C[0,1]
(Ax)(t) =
dx
dt
имеет правый, но не имеет левого обратного.
4. В пространстве C
1
[0,1] рассмотрим подпространство L =
= {x(t) ∈ C
1
[0,1] : x(0) = 0} и оператор A : L → C[0,1]:
(Ax)(t) =
dx
dt
+ a(t)x(t); a(t) ∈ C[0,1].
Доказать, что A имеет ограниченный обратный.
13
27. Назовём
      P∞ Aоператорной       экспонентой eA оператор вида: eA =
               k
                   0
    = k=0 k! (A = I — тождественный оператор).
        Доказать, что если X — банахово пространство, A ∈ L(X),
    то оператор eA ∈ L(X), keA k 6 ekAk . Чему равно eI ?
28. ПустьP∞ X — банахово пространство, A ∈ L(X). Доказать, что
    ряд k=0 Ak сходится в L(X) тогда и только тогда, когда для
    некоторого натурального k выполняется неравенство kAk k < 1.
29. Пусть An — оператор кусочно-линейной интерполяции в C[a,b]
    по n равноотстоящим узлам. Исследовать последовательность
    {An } на сходимость (по норме и поточечную).
30. Пусть оператор U определён всюду в комплексном гильберто-
    вом пространстве H и отображает его на все H. Он называется
    унитарным, если для любых x,y ∈ H выполняется равенство
    (U x,U y) = (x,y). Доказать, что
      а) унитарный оператор линеен и ограничен;
      б) унитарный оператор имеет обратный, который также уни-
         тарен;
      в) произведение двух унитарных операторов есть унитарный
         оператор.

     7. Обратный оператор, спектр, резольвента
 1. Пусть E — банахово пространство, A ∈ L(E). Доказать, что
    σ(An ) = {λn |λ ∈ σ(A)}.
 2. Пусть X — линейное пространство, A : X → X — линейный
    оператор, удовлетворяющий при некоторых λk ∈ R соотноше-
    нию I + λ1 A + λ2 A2 + . . . + λn An = θ (θ — нулевой, I — тожде-
    ственный оператор). Доказать, что A−1 существует.
 3. Доказать, что оператор A : C 1 [0,1] → C[0,1]
                                          dx
                              (Ax)(t) =
                                          dt
    имеет правый, но не имеет левого обратного.
 4. В пространстве C 1 [0,1] рассмотрим подпространство L =
    = {x(t) ∈ C 1 [0,1] : x(0) = 0} и оператор A : L → C[0,1]:
                            dx
                (Ax)(t) =      + a(t)x(t);     a(t) ∈ C[0,1].
                            dt
   Доказать, что A имеет ограниченный обратный.


                                                                  13

Страницы