Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ство, всюду плотное в X. Следует ли отсюда, что A
n
x → Ax
на всех x ∈ X?
12. Пусть E
1
и E
2
— банаховы пространства. Пусть последова-
тельность {A
n
} ⊂ L(E
1
,E
2
) такова, что для любого x ∈ E
1
последовательность {A
n
x} фундаментальна в E
2
. Доказать,
что с уществует A ∈ L(E
1
,E
2
) такой, что Ax = lim
n→∞
A
n
x для
любого x ∈ E
1
. Доказать, что kAk 6 lim
n→∞
kA
n
k. Можно ли
последнее неравенство заменить равенством?
13. Пусть X, Y — банаховы пространства, A
n
∈ L(X,Y ), n ∈ N;
A
n
x → Ax на любом элементе x ∈ X. Доказать, что если
x
n
→ x, то A
n
x
n
→ Ax.
14. Пусть L
1
,L
2
— замкнутые линейные подпространства гиль-
бертова пространства, P
1
,P
2
— ортогональные проекторы со-
ответственно на L
1
,L
2
, δ(L
1
,L
2
) = kP
1
− P
2
k. Доказать, что
а) δ 6 1;
б) δ < 1 ⇒ L
1
и L
2
имеют одинаковую размерность.
15. Пусть P
t
, t ∈ [0,1] — однопараметрическое семейство про-
екторов в гильбертовом пространстве, непрерывно (в смысле
нормы оператора) зависящих от параметра t. Доказать, что
все P
t
имеют одинаковый ранг (т.е. размерность образа).
16. Пусть E
1
, E
2
— нормированные пространства, причем
dim E
2
< ∞. Пусть A : E
1
→ E
2
— линейное отображение.
Доказать, что A непрерывно тогда и только тогда, когда Ker A
замкнуто. Верно ли это утверждение в случае dim E
2
= ∞?
17. Пусть E — линейное пространство, f — ненулевой линейный
функционал на E. Доказать, что существует x ∈ E такой, что
E = Ker f ⊕ [x].
18. Пусть E — линейное пространство, f : E → R — функционал,
удовлетворяющий свойствам:
а) f(x) > 0 для всех x ∈ E;
б) f(x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
в) f(αx) = |α|f(x) для всех x ∈ E, α ∈ R;
г) множество {x ∈ E : f(x) 6 1} выпукло.
Доказать, что f является нормой в пространстве E.
19. Пусть E
1
и E
2
— банаховы пространства, множество A ⊂
⊂ L(E
1
,E
2
). Доказать, что множество A равностепенно непре-
11
    ство, всюду плотное в X. Следует ли отсюда, что An x → Ax
    на всех x ∈ X?
12. Пусть E1 и E2 — банаховы пространства. Пусть последова-
    тельность {An } ⊂ L(E1 ,E2 ) такова, что для любого x ∈ E1
    последовательность {An x} фундаментальна в E2 . Доказать,
    что существует A ∈ L(E1 ,E2 ) такой, что Ax = lim An x для
                                                       n→∞
      любого x ∈ E1 . Доказать, что kAk 6 lim kAn k. Можно ли
                                              n→∞
      последнее неравенство заменить равенством?
13.   Пусть X, Y — банаховы пространства, An ∈ L(X,Y ), n ∈ N;
      An x → Ax на любом элементе x ∈ X. Доказать, что если
      xn → x, то An xn → Ax.
14.   Пусть L1 ,L2 — замкнутые линейные подпространства гиль-
      бертова пространства, P1 ,P2 — ортогональные проекторы со-
      ответственно на L1 ,L2 , δ(L1 ,L2 ) = kP1 − P2 k. Доказать, что
        а) δ 6 1;
        б) δ < 1 ⇒ L1 и L2 имеют одинаковую размерность.
15.   Пусть Pt , t ∈ [0,1] — однопараметрическое семейство про-
      екторов в гильбертовом пространстве, непрерывно (в смысле
      нормы оператора) зависящих от параметра t. Доказать, что
      все Pt имеют одинаковый ранг (т.е. размерность образа).
16.   Пусть E1 , E2 — нормированные пространства, причем
      dim E2 < ∞. Пусть A : E1 → E2 — линейное отображение.
      Доказать, что A непрерывно тогда и только тогда, когда Ker A
      замкнуто. Верно ли это утверждение в случае dim E2 = ∞?
17.   Пусть E — линейное пространство, f — ненулевой линейный
      функционал на E. Доказать, что существует x ∈ E такой, что
      E = Ker f ⊕ [x].
18.   Пусть E — линейное пространство, f : E → R — функционал,
      удовлетворяющий свойствам:
        а) f (x) > 0 для всех x ∈ E;
        б) f (x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
        в) f (αx) = |α|f (x) для всех x ∈ E, α ∈ R;
        г) множество {x ∈ E : f (x) 6 1} выпукло.
      Доказать, что f является нормой в пространстве E.
19.   Пусть E1 и E2 — банаховы пространства, множество A ⊂
      ⊂ L(E1 ,E2 ). Доказать, что множество A равностепенно непре-




                                                                  11

Страницы