Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

рывно тогда и только тогда, когда существует M > 0 такое,
что kAk 6 M для всех A ∈ A.
20. Пусть оператор I : l
1
→ l
2
реализует естественное вложение
l
1
в l
2
. Доказать, что I ∈ L(l
1
,l
2
), но не имеет ограниченного
обратного. Является ли пространство l
1
с l
2
-нормой банахо-
вым?
21. Пусть оператор I : L
2
[0,1] → L
1
[0,1] реализует естественное
вложение L
2
[0,1] в L
1
[0,1]. Доказать, что I ∈ L(L
2
[0,1],L
1
[0,1]),
но не имеет ограниченного обратного. Является ли простран-
ство L
2
[0,1] с L
1
[0,1]-нормой банаховым?
22. Доказать, что последовательность операторов {A
n
}, A
n
∈
∈ L(C[0,1]), (A
n
f)(x) = f(x
1+
1
n
) поточечно сходится к I. Верно
ли, что A
n
сходится к I по операторной норме?
23. В пространстве l
2
для элемента x = (x
1
,x
2
, . . .) ∈ l
2
определим
последовательности операторов:
A
n
x =
x
1
n
,
x
2
n
, . . .
;
B
n
x =
0,0, . . . ,0
| {z }
n
,x
n+1
,x
n+2
, . . .
, n ∈ N.
Являются ли эти последовательности сходящимися
а) поточечно; б) по операторной норме?
24. Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1]
(Ax)(t) =
Z
t
0
e
s
x(s) ds
и последовательность операторов A
n
: C[0,1] → C[0,1]
(A
n
x)(t) =
Z
t
0
n
X
k=0
s
k
k!
!
x(s) ds, n ∈ N.
Сходится ли последовательность A
n
к A? Каков характер схо-
димости?
25. Доказать, что если ∀x ∈ l
2
(x
1
y
1
,x
2
y
2
, . . .) ∈ l
1
, то y ∈ l
2
.
26. Доказать, что
а) тригонометрическая система не является базисом в про-
странстве CP [−π,π];
б) система {x
k
}
∞
k=0
не является базисом в L
2
[0,1].
12
       рывно тогда и только тогда, когда существует M > 0 такое,
       что kAk 6 M для всех A ∈ A.
 20.   Пусть оператор I : l1 → l2 реализует естественное вложение
       l1 в l2 . Доказать, что I ∈ L(l1 ,l2 ), но не имеет ограниченного
       обратного. Является ли пространство l1 с l2 -нормой банахо-
       вым?
 21.   Пусть оператор I : L2 [0,1] → L1 [0,1] реализует естественное
       вложение L2 [0,1] в L1 [0,1]. Доказать, что I ∈ L(L2 [0,1],L1 [0,1]),
       но не имеет ограниченного обратного. Является ли простран-
       ство L2 [0,1] с L1 [0,1]-нормой банаховым?
 22.   Доказать, что последовательность операторов {An }, An ∈
                                        1
       ∈ L(C[0,1]), (An f )(x) = f (x1+ n ) поточечно сходится к I. Верно
       ли, что An сходится к I по операторной норме?
 23.   В пространстве l2 для элемента x = (x1 ,x2 , . . .) ∈ l2 определим
       последовательности операторов:
                           x x       
                              1   2
                  An x =        , ,... ;
                           n n                      

                 Bn x = 0,0, . . . ,0 ,xn+1 ,xn+2 , . . . ,   n ∈ N.
                         | {z }
                                 n

     Являются ли эти последовательности сходящимися
     а) поточечно; б) по операторной норме?
 24. Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1]
                                   Z t
                         (Ax)(t) =     es x(s) ds
                                             0
       и последовательность операторов An : C[0,1] → C[0,1]
                                  n
                              Z t X    !
                                    sk
                  (An x)(t) =            x(s) ds, n ∈ N.
                               0    k!
                                       k=0

     Сходится ли последовательность An к A? Каков характер схо-
     димости?
 25. Доказать, что если ∀ x ∈ l2 (x1 y1 ,x2 y2 , . . .) ∈ l1 , то y ∈ l2 .
 26. Доказать, что
      а) тригонометрическая система не является базисом в про-
         странстве CP [−π,π];
      б) система {xk }∞
                      k=0 не является базисом в L2 [0,1].



12

Страницы