Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

— линейный оператор. Верно ли, что A непрерывен, если
а) dim E
1
< ∞; б) dim E
1
= ∞?
4. Доказать, что оператор, отображающий линейное нормирован-
ное пространство X в фактор-пространство X/L (L — линей-
ное пространство, замкнутое по норме X) и ставящий в соот-
ветствие элементу x ∈ X содержащий его класс смежности,
является линейным ограниченным оператором.
5. Пусть H — гильбертово пространство, A : H → H — огра-
ниченный линейный оператор, определённый на всей H. Дока-
зать, что
kAk = sup
x,y∈H
x6=0, y6=0
|(Ax,y)|
kxkkyk
.
6. Доказать, что следующие операторы являются линейными
ограниченными и найти их нормы:
а) A : C[0,1] → C[0,1], (Ax)(t) =
R
t
0
x(s) ds;
б) A : C[−1,1] → C[−1,1],
(Ax)(t) =
R
t
−1
x(s) ds −
R
1
0
sx(s) ds;
в) A : L
1
[0,1] → L
1
[0,1], (Ax)(t) = x(
√
t);
г) L
2
[0,1] → L
2
[0,1], (Ax)(t) = t
R
1
0
x(s) ds.
7. Будет ли ограниченным оператор A : C[0,1] → C[0,1] (Ax)(t) =
=
dx
dt
с областью определения L — линейным многообразием
непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций?
8. а) Доказать, что оператор D =
d
dx
: C
1
[a,b] → C[a,b] непре-
рывен.
б) Доказать тождество (xDx)
n
u = x
n
D
n
(x
n
u), u ∈ C
n
[a,b].
9. Пусть {e
n
}
n∈N
— ортонормированный базис гильбертова про-
странства H, λ
n
∈ R. Доказать, что если последовательность
λ
n
ограничена, то равенства Ae
n
= λ
n
e
n
определяют огра-
ниченный линейный оператор A : H → H, определённый на
всём H, причём kAk = sup
n
|λ
n
|.
10. Пусть X, Y — банаховы пространства, A : X → Y — ограни-
ченный линейный оператор. Всегда ли равенства
а) kxk
1
= kAxk; б) kxk
2
= kxk + kAxk
задают в X норму? Будет ли X в этой норме банаховым про-
странством?
11. Пусть H — гильбертово пространство, A
n
∈ L(X,Y ) и A
n
x →
→ Ax на всех элементах x ∈ L, где L — линейное подпростран-
10
        — линейный оператор. Верно ли, что A непрерывен, если
        а) dim E1 < ∞; б) dim E1 = ∞?
     4. Доказать, что оператор, отображающий линейное нормирован-
        ное пространство X в фактор-пространство X/L (L — линей-
        ное пространство, замкнутое по норме X) и ставящий в соот-
        ветствие элементу x ∈ X содержащий его класс смежности,
        является линейным ограниченным оператором.
     5. Пусть H — гильбертово пространство, A : H → H — огра-
        ниченный линейный оператор, определённый на всей H. Дока-
        зать, что
                                         |(Ax,y)|
                           kAk = sup              .
                                   x,y∈H kxk kyk
                                      x6=0, y6=0
     6. Доказать, что следующие операторы являются линейными
        ограниченными и найти их нормы: R
                                                t
          а) A : C[0,1] → C[0,1], (Ax)(t) = 0 x(s) ds;
          б) A : C[−1,1]R → C[−1,1], R
                          t            1
             (Ax)(t) = −1 x(s) ds − 0 sx(s) ds;
                                                    √
          в) A : L1 [0,1] → L1 [0,1], (Ax)(t) R= x( t);
                                                1
          г) L2 [0,1] → L2 [0,1], (Ax)(t) = t 0 x(s) ds.
     7. Будет ли ограниченным оператор A : C[0,1] → C[0,1] (Ax)(t) =
        = dx
           dt с областью определения L — линейным многообразием
        непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций?
                                              d
     8. а) Доказать, что оператор D = dx          : C 1 [a,b] → C[a,b] непре-
             рывен.
          б) Доказать тождество (xDx)n u = xn Dn (xn u), u ∈ C n [a,b].
     9. Пусть {en }n∈N — ортонормированный базис гильбертова про-
        странства H, λn ∈ R. Доказать, что если последовательность
        λn ограничена, то равенства Aen = λn en определяют огра-
        ниченный линейный оператор A : H → H, определённый на
        всём H, причём kAk = sup |λn |.
                                  n
 10. Пусть X, Y — банаховы пространства, A : X → Y — ограни-
     ченный линейный оператор. Всегда ли равенства
     а) kxk1 = kAxk; б) kxk2 = kxk + kAxk
     задают в X норму? Будет ли X в этой норме банаховым про-
     странством?
 11. Пусть H — гильбертово пространство, An ∈ L(X,Y ) и An x →
     → Ax на всех элементах x ∈ L, где L — линейное подпростран-


10

Страницы