Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4. Нормированные и топологические
векторные пространства
1. Доказать, что нормированное пространство полно ⇐⇒ в нем
всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.
2. Доказать, что две нормы, определенные на одном и том же
линейном пространстве, эквивалентны тогда и только тогда,
когда из сходимости последовательности по одной из норм сле-
дует ее сходимость по другой норме.
3. В пространстве C[a,b] рассматривается множество M, состоя-
щее из многочленов p(x) степени 6 10, удовлетворяющих усло-
вию
R
b
a
|p(x)|dx 6 10. Компактно ли множество M?
4. Найти крайние точки замкнутого единичного шара в простран-
ствах l
2
, l
1
, C[a,b], c
0
.
5. Доказать, что выпуклая оболочка компактного множества в R
n
также будет компактным множеством.
6. Доказать, что непустое выпуклое компактное подмножество R
n
гомеоморфно k-мерному шару, k 6 n.
7. Пусть B
1
и B
2
— шары в нормированном пространстве с ра-
диусами соответственно r
1
и r
2
. Доказать, что если B
1
⊂ B
2
,
то r
1
6 r
2
.
8. Пусть B
1
⊃ B
2
⊃ . . . — последовательность вложенных за-
мкнутых шаров в банаховом пространстве. Доказать, что
∞
T
k=1
B
k
6=∅.
9. Описать множества в R
n
, которые могут служить замкнутым
единичным шаром для некоторой нормы в R
n
.
10. Пусть L — конечномерное подпространство нормированного
пространства X. Доказать, что для любого x ∈ X в L найдется
элемент наилучшего приближения.
11. Верно ли, что система функций {x
k
}
∞
k=0
является
а) полной в C[0,1];
б) базисом в C[0,1]?
12. В каких пространствах l
p
(1 6 p 6 ∞), c
0
, c система {e
k
}
∞
k=1
,
e
k
(n) = δ
kn
является базисом. Существует ли базис в про-
странстве c?
13. Является ли пространство C
1
[0,1] с нормой k · k
1
, где kf k
1
=
= |f(0)| + kf
0
k
C
для любой функции f ∈ C
1
[0,1], банаховым?
8
              4. Нормированные и топологические
                    векторные пространства
     1. Доказать, что нормированное пространство полно ⇐⇒ в нем
        всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.
     2. Доказать, что две нормы, определенные на одном и том же
        линейном пространстве, эквивалентны тогда и только тогда,
        когда из сходимости последовательности по одной из норм сле-
        дует ее сходимость по другой норме.
     3. В пространстве C[a,b] рассматривается множество M , состоя-
        щее из многочленов p(x) степени 6 10, удовлетворяющих усло-
             Rb
        вию a |p(x)| dx 6 10. Компактно ли множество M ?
     4. Найти крайние точки замкнутого единичного шара в простран-
        ствах l2 , l1 , C[a,b], c0 .
     5. Доказать, что выпуклая оболочка компактного множества в Rn
        также будет компактным множеством.
     6. Доказать, что непустое выпуклое компактное подмножество Rn
        гомеоморфно k-мерному шару, k 6 n.
     7. Пусть B1 и B2 — шары в нормированном пространстве с ра-
        диусами соответственно r1 и r2 . Доказать, что если B1 ⊂ B2 ,
        то r1 6 r2 .
     8. Пусть B1 ⊃ B2 ⊃ . . . — последовательность вложенных за-
        мкнутых шаров в банаховом пространстве. Доказать, что
         ∞
         T
           Bk 6=∅.
        k=1
     9. Описать множества в Rn , которые могут служить замкнутым
        единичным шаром для некоторой нормы в Rn .
    10. Пусть L — конечномерное подпространство нормированного
        пространства X. Доказать, что для любого x ∈ X в L найдется
        элемент наилучшего приближения.
    11. Верно ли, что система функций {xk }∞  k=0 является
          а) полной в C[0,1];
          б) базисом в C[0,1]?
    12. В каких пространствах lp (1 6 p 6 ∞), c0 , c система {ek }∞  k=1 ,
        ek (n) = δkn является базисом. Существует ли базис в про-
        странстве c?
    13. Является ли пространство C 1 [0,1] с нормой k · k1 , где kf k1 =
        = |f (0)| + kf 0 kC для любой функции f ∈ C 1 [0,1], банаховым?



8

Страницы