Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ность, меру, установить его замкнутость, компактность, нигде
не плотность, найти фрактальную размерность.
4. Пусть X — метрическое пространство, обладающее тем свой-
ством, что любая непрерывная на нем функция ограничена.
Доказать, что X — компакт.
5. Найти фрактальную размерность графика функции y =
= sin(1/x), 0 < x 6 1.
6. Доказать, что компактное метрическое пространство имеет ко-
нечный диаметр.
7. Компактен ли единичный шар в l
2
?
8. Доказать, что компактное метрическое пространство сепара-
бельно.
9. Доказать, что компактное подмножество метрического про-
странства замкнуто.
10. Доказать, что компакт нельзя изометрично отобразить на свое
собственное подмножество.
11. Доказать, что множество M в l
2
компактно ⇔ оно замкнуто,
ограничено и
∀ε > 0 ∃n ∀x ∈ M
∞
X
k=n
|x
k
|
2
< ε.
(Здесь x = (x
1
,x
2
, . . .)).
12. Пусть E — компактное метрическое пространство с метрикой
ρ(·,·). Пусть f : E → E, причем ρ(f(x),f(y)) < ρ(x,y) для
всех x 6= y. Доказать, что f имеет неподвижную точку. Верно
ли, что неподвижная точка единственна? Верно ли, что f —
сжимающее отображение?
13. Доказать, что множество {f ∈ C
1
[0,1] : kfk
C
+ kf
0
k
C
= 1}
предкомпактно в C[0,1]. Является ли это множество предком-
пактным в C[0,1]?
7
      ность, меру, установить его замкнутость, компактность, нигде
      не плотность, найти фрактальную размерность.
 4.   Пусть X — метрическое пространство, обладающее тем свой-
      ством, что любая непрерывная на нем функция ограничена.
      Доказать, что X — компакт.
 5.   Найти фрактальную размерность графика функции y =
      = sin(1/x), 0 < x 6 1.
 6.   Доказать, что компактное метрическое пространство имеет ко-
      нечный диаметр.
 7.   Компактен ли единичный шар в l2 ?
 8.   Доказать, что компактное метрическое пространство сепара-
      бельно.
 9.   Доказать, что компактное подмножество метрического про-
      странства замкнуто.
10.   Доказать, что компакт нельзя изометрично отобразить на свое
      собственное подмножество.
11.   Доказать, что множество M в l2 компактно ⇔ оно замкнуто,
      ограничено и
                                           ∞
                                             |xk |2 < ε.
                                          X
                    ∀ε > 0 ∃n ∀x ∈ M
                                          k=n
    (Здесь x = (x1 ,x2 , . . .)).
12. Пусть E — компактное метрическое пространство с метрикой
    ρ(·,·). Пусть f : E → E, причем ρ(f (x),f (y)) < ρ(x,y) для
    всех x 6= y. Доказать, что f имеет неподвижную точку. Верно
    ли, что неподвижная точка единственна? Верно ли, что f —
    сжимающее отображение?
13. Доказать, что множество {f ∈ C 1 [0,1] : kf kC + kf 0 kC = 1}
    предкомпактно в C[0,1]. Является ли это множество предком-
    пактным в C[0,1]?




                                                                7

Страницы