Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 4 стр.

  1. Метрические и топологические пространства
 1. Доказать, что произвольное открытое подмножество прямой
    можно представить в виде объединения не более чем счетного
    числа попарно не пересекающихся интервалов (возможно бес-
    конечных).
 2. Доказать, что произвольное открытое подмножество в Rn
    можно представить в виде объединения счетного числа шаров
    рационального радиуса с центрами в точках с рациональными
    координатами.
 3. Является ли открытым в пространстве C[a,b] множество

                 {f ∈ C[a,b] : 0 < f (x) < 1 ∀ x ∈ [a,b]}?

 4. Является ли открытым в пространстве l∞ множество

                    {x ∈ l∞ : 0 < xk < 1,k = 1,2, . . .}?

      (Здесь x = (x1 ,x2 , . . .) ).
 5.   Пусть A — подмножество метрического пространства (X,ρ).
      Доказать, что функция f : X → R, f (x) = ρ(x,A) = inf ρ(x,y)
                                                           y∈A
      непрерывна.
 6.   Описать все множества в метрическом пространстве, которые
      могут быть множеством нулей некоторой непрерывной функ-
      ции?
 7.   Пусть A, B — замкнутые, непересекающиеся подмножества
      метрического пространства X. Доказать, что на X существует
      непрерывная функция f такая, что f |A ≡ 0, f |B ≡ 1.
 8.   Доказать, что множество {sin(n),n = 1,2, . . .} всюду плотно
      в [−1,1].
 9.   Исследовать пространство C[a,b]: доказать, что оно полно, се-
      парабельно, связно.
10.   Доказать, что отрезок и окружность не гомеоморфны.
11.   Доказать, что на вещественной прямой связными множествами
      являются только промежутки (отрезки, интервалы, полуин-
      тервалы, включая бесконечные).
12.   Разместить в единичном шаре пространства l2 счётное число
      шаров радиуса 1/10.
13.   Доказать, что пространство основных функций D(R1 ) неме-
      тризуемо.


                                                                 5