Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 5 стр.

    14. Пусть M = {x ∈ l1 : x ∈ Q}. Является ли множество M
        счётным?

           2. Полные метрические пространства
    1. Доказать, что множество вещественных чисел является попол-
       нением множества рациональных чисел.
    2. Доказать, что пространства lp (1 6 p < ∞) — сепарабельные
       полные метрические пространства, а пространство l∞ — пол-
       ное, но не сепарабельное.
    3. Доказать, что если в пространстве C[a,b] рассмотреть метрику
                 Rb
       ρ1 (f,g) = a |f (x) − g(x)| dx, то в ней оно будет неполно.
    4. Доказать, что всякая равномерно непрерывная функция на ме-
       трическом пространстве однозначно продолжается до непре-
       рывной функции на его пополнении, и что это продолжение
       равномерно непрерывно.
    5. При помощи принципа сжимающих отображений найти доста-
       точное условие на параметр λ, при котором уравнение
                                 Z b
                        ϕ(x) = λ     K(x,y)ϕ(y) dy + f (x)
                                a
       имеет единственное решение ϕ ∈ C[a,b]. (Здесь f ∈ C[a,b] ,
       K ∈ C([a,b]2 )).
    6. Найти пополнение метрического пространства, состоящего из
       непрерывных финитных на числовой оси функций с метрикой
                          ρ(x,y) = max |x(t) − y(t)|.
                                     t
    7. Существует ли числовая функция, непрерывная в рациональ-
       ных и разрывная в иррациональных точках отрезка [0,1]?

         3. Компактные метрические пространства
    1. Доказать, что компакты в Rn — это замкнутые ограниченные
       множества.
    2. Пусть M — замкнутое подмножество Rn и x ∈ Rn . Доказать,
       что ρ(x,M ) = inf ρ(x,z) достигается в некоторой точке z ∈ M .
                    z∈M
       Показать, что в произвольном метрическом пространстве (на-
       пример, для M ⊂ l2 ) это, вообще говоря, не так.
    3. Исследовать канторово множество на отрезке: найти его мощ-


6