Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5. Геометрия гильбертова пространства
1. Доказать, что норма пространства C[a,b] не может поро-
ждаться никаким скалярным произведением.
2. а) Доказать, что любая последовательность вложенных не-
пустых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в
гильбертовом пространстве имеет непустое пересечение.
б) Показать, что последовательность вложенных непустых
замкнутых выпуклых ограниченных множеств в банахо-
вом пространстве может иметь пустое пересечение.
3. Привести пример последовательности вложенных ограничен-
ных замкнутых множеств из l
2
, имеющих пустое пересечение.
4. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, {e
k
}
∞
k=1
— ортонормированный базис в H, {g
k
}
∞
k=1
— ортонормирован-
ная система в H, причем
P
∞
k=1
ke
k
− g
k
k
2
< ∞. Доказать, что
{g
k
}
∞
k=1
является ортонормированным базисом в H.
5. Пусть {x
n
}, {y
n
} — последовательности в гильбертовом про-
странстве, причем kx
n
k 6 1, ky
n
k 6 1, (x
n
,y
n
) → 1. Доказать,
что kx
n
− y
n
k → 0.
6. Доказать, что гильбертово пространство строго выпукло
(т.е. его единичная сфера не содержит отрезков положитель-
ной длины).
7. Исследовать ««гильбертов кирпич»»: доказать, что это за-
мкнутое множество без внутренних точек; выяснить, является
ли он поглощающим множеством, к каким его точкам можно
провести опорную гиперплоскость.
8. Пусть {e
1
, . . . ,e
n
} — базис подпространства L ⊂ H. Доказать,
что ∀x ∈ H ρ
2
(x,L) =
G(x,e
1
,...,e
n
)
G(e
1
,...,e
n
)
, где G(a
1
, . . . ,a
n
) — опреде-
литель Грама.
6. Линейные ограниченные операторы
в нормированных пространствах
1. Пусть X и Y — конечномерные нормированные пространства.
Доказать, что любой линейный оператор из X в Y непрерывен.
2. Оператор в R
n
p
задан матрицей A. Выразить норму оператора
через коэффициенты матрицы в случаях p = 1, p = 2, p = ∞.
Доказать неравенство kAk
2
2
6 kAk
1
kAk
∞
.
3. Пусть E
1
и E
2
— нормированные пространства, A : E
1
→ E
2
9
        5. Геометрия гильбертова пространства
1. Доказать, что норма пространства C[a,b] не может поро-
   ждаться никаким скалярным произведением.
2. а) Доказать, что любая последовательность вложенных не-
         пустых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в
         гильбертовом пространстве имеет непустое пересечение.
     б) Показать, что последовательность вложенных непустых
         замкнутых выпуклых ограниченных множеств в банахо-
         вом пространстве может иметь пустое пересечение.
3. Привести пример последовательности вложенных ограничен-
   ных замкнутых множеств из l2 , имеющих пустое пересечение.
4. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, {ek }∞                   k=1
   — ортонормированный базис            в  H,   {g  }∞ — ортонормирован-
                                                  k  k=1
   ная система в H, причем ∞                           2
                                 P
                                    k=1 kek − gk k < ∞. Доказать, что
        ∞
   {gk }k=1 является ортонормированным базисом в H.
5. Пусть {xn }, {yn } — последовательности в гильбертовом про-
   странстве, причем kxn k 6 1, kyn k 6 1, (xn ,yn ) → 1. Доказать,
   что kxn − yn k → 0.
6. Доказать, что гильбертово пространство строго выпукло
   (т.е. его единичная сфера не содержит отрезков положитель-
   ной длины).
7. Исследовать ««гильбертов кирпич»»: доказать, что это за-
   мкнутое множество без внутренних точек; выяснить, является
   ли он поглощающим множеством, к каким его точкам можно
   провести опорную гиперплоскость.
8. Пусть {e1 , . . . ,en } — базис подпространства L ⊂ H. Доказать,
   что ∀ x ∈ H ρ2 (x,L) = G(x,e     1 ,...,en )
                                G(e1 ,...,en ) , где G(a1 , . . . ,an ) — опреде-
   литель Грама.

         6. Линейные ограниченные операторы
            в нормированных пространствах
1. Пусть X и Y — конечномерные нормированные пространства.
   Доказать, что любой линейный оператор из X в Y непрерывен.
2. Оператор в Rnp задан матрицей A. Выразить норму оператора
   через коэффициенты матрицы в случаях p = 1, p = 2, p = ∞.
   Доказать неравенство kAk22 6 kAk1 kAk∞ .
3. Пусть E1 и E2 — нормированные пространства, A : E1 → E2


                                                                               9

Страницы