Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5. Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1]
(Ax)(t) =
Z
t
0
x(s) ds.
Что представляет собой множество значений оператора A? Су-
ществует ли оператор A
−1
, определённый на множестве значе-
ний и ограничен ли он?
6. Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1]
(Ax)(t) =
Z
t
0
x(s) ds + x(t).
Доказать, что A имеет ограниченный обратный на всё м C[0,1]
и найти A
−1
.
7. В пространстве C[0,1] рассмотрим оператор
(Ax)(t) =
Z
t
0
x(s) ds.
Найти спектр и резольвенту оператора A.
8. Доказать, что оператор A : C[0,1] → C[0,1]
(Ax)(t) = x(t) +
Z
1
0
e
s+t
x(s) ds
непрерывно обратим и найти A
−1
.
9. В вещественном линейном пространстве C[−π,π] найти соб-
ственные значения и собственные векторы операторов
а) (Ax)(t) = x(−t);
б) (Ax)(t) =
R
π
−π
cos(s + t)x(s) ds.
Имеют ли эти операторы непрерывный спектр? Построить ре-
зольвенты на множестве регулярных значений каждого опера-
тора.
10. В пространстве C[0,1] рассмотрим оператор (Ax)(t) = x(0) +
+ tx(1). Найти точечный и непрерывный спектры оператора A
и построить резольвенту на множестве регулярных значений.
11. В пространстве C[0,2π] рассмотрим оператор (Ax)(t) = e
it
x(t).
Доказать, что спектр A есть множество {λ ∈ C : |λ| = 1}, при-
чём ни одна точка спектра не является собственным числом.
12. Найти спектр и резольвенту оператора A ∈ L(L
2
(−1,1))
(Af)(x) =
Z
1
0
(1 + xt)f(t) dt.
14
     5. Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1]
                                     Z t
                          (Ax)(t) =      x(s) ds.
                                           0
        Что представляет собой множество значений оператора A? Су-
        ществует ли оператор A−1 , определённый на множестве значе-
        ний и ограничен ли он?
     6. Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1]
                                   Z t
                         (Ax)(t) =     x(s) ds + x(t).
                                      0
        Доказать, что A имеет ограниченный обратный на всём C[0,1]
        и найти A−1 .
     7. В пространстве C[0,1] рассмотрим оператор
                                      Z t
                            (Ax)(t) =     x(s) ds.
                                           0
        Найти спектр и резольвенту оператора A.
     8. Доказать, что оператор A : C[0,1] → C[0,1]
                                        Z 1
                       (Ax)(t) = x(t) +     es+t x(s) ds
                                             0
     непрерывно обратим и найти            −1
                                          A .
  9. В вещественном линейном пространстве C[−π,π] найти соб-
     ственные значения и собственные векторы операторов
       а) (Ax)(t) = x(−t);
                    Rπ
       б) (Ax)(t) = −π cos(s + t)x(s) ds.
     Имеют ли эти операторы непрерывный спектр? Построить ре-
     зольвенты на множестве регулярных значений каждого опера-
     тора.
 10. В пространстве C[0,1] рассмотрим оператор (Ax)(t) = x(0) +
     + tx(1). Найти точечный и непрерывный спектры оператора A
     и построить резольвенту на множестве регулярных значений.
 11. В пространстве C[0,2π] рассмотрим оператор (Ax)(t) = eit x(t).
     Доказать, что спектр A есть множество {λ ∈ C : |λ| = 1}, при-
     чём ни одна точка спектра не является собственным числом.
 12. Найти спектр и резольвенту оператора A ∈ L(L2 (−1,1))
                                  Z 1
                       (Af )(x) =     (1 + xt)f (t) dt.
                                      0



14

Страницы