Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

нием множества M в смысле равномерной сходимости на [0,1].
Верно ли, что N ⊂ R[0,1], N = R[0,1]?
11. Доказать, что L
p
[0,1] ⊂ L
q
[0,1], l
p
⊃ l
q
для всех 1 6 q < p 6 ∞.
12. Пусть последовательность {f
n
} измеримых по Лебегу на от-
резке [0,1] функций поточечно сходится к f , причем существует
M > 0 такое, что |f
n
(t)| 6 M для всех n ∈ N и почти всех
t ∈ [0,1]. Доказать, что
R
x
0
(f
n
(t) − f(t)) dt ⇒ 0 на [0,1] при
n → ∞.
13. Пусть функция f : [0,1] → R измерима по Лебегу. Пусть
задана последовательность измеримых подмножеств {A
n
} от-
резка [0,1], µA
n
→ 1 при n → ∞, такая, что f интегрируема по
Лебегу на каждом A
n
. Пусть существует M > 0 такое, что
Z
A
n
|f(t)|dt 6 M
для всех n ∈ N. Доказать, что f интегрируема по Лебегу на
[0,1], причем существует
lim
n→∞
Z
A
n
f(t) dt =
Z
1
0
f(t) dt.
14. Пусть f
n
и f — измеримые по Лебегу на отрезке [0,1] функции.
Верно ли, что f
n
сходится к f почти всюду на [0,1] тогда и
только тогда, когда f
n
сходится к f по мере?
15. Пусть f
n
— последовательность измеримых по Лебегу на от-
резке [0,1] функций, причем существует M > 0 такое, что
|f
n
(x)| 6 M для всех x ∈ [0,1] и n ∈ N. Доказать, что g(x) =
= inf
n∈N
f
n
(x) является измеримой по Лебегу на отрезке [0,1].
16. Доказать, что L
∞
[0,1] и l
∞
несепарабельны, а L
1
[0,1] и l
1
нере-
флексивны.
17. Привести пример множества A ⊂ [0,1] такого, что
а) µA = 0, но A второй категории;
б) µA = 1, но A первой категории.
9. Сопряжённое пространство, теорема Хана–Банаха,
теорема Рисса–Фреше
1. Доказать, что l
∗
p
∼
=
l
q
(1 < p < ∞, p
−1
+ q
−1
= 1), l
∗
1
∼
=
l
∞
,
c
∗
0
∼
=
l
1
, c
∗
∼
=
l
1
. Ве рно ли, что l
∗
∞
∼
=
l
1
?
2. Пусть E — нормированное пространство, f, f
1
,. . . ,f
n
— ли-
16
     нием множества M в смысле равномерной сходимости на [0,1].
     Верно ли, что N ⊂ R[0,1], N = R[0,1]?
 11. Доказать, что Lp [0,1] ⊂ Lq [0,1], lp ⊃ lq для всех 1 6 q < p 6 ∞.
 12. Пусть последовательность {fn } измеримых по Лебегу на от-
     резке [0,1] функций поточечно сходится к f , причем существует
     M > 0 такое, что |fn (t)| R6 M для всех n ∈ N и почти всех
                                   x
     t ∈ [0,1]. Доказать, что 0 (fn (t) − f (t)) dt ⇒ 0 на [0,1] при
     n → ∞.
 13. Пусть функция f : [0,1] → R измерима по Лебегу. Пусть
     задана последовательность измеримых подмножеств {An } от-
     резка [0,1], µAn → 1 при n → ∞, такая, что f интегрируема по
     Лебегу на каждом An . Пусть существует M > 0 такое, что
                             Z
                                  |f (t)| dt 6 M
                                 An
       для всех n ∈ N. Доказать, что f интегрируема по Лебегу на
       [0,1], причем существует
                             Z             Z 1
                         lim    f (t) dt =     f (t) dt.
                         n→∞ A               0
                              n

 14. Пусть fn и f — измеримые по Лебегу на отрезке [0,1] функции.
     Верно ли, что fn сходится к f почти всюду на [0,1] тогда и
     только тогда, когда fn сходится к f по мере?
 15. Пусть fn — последовательность измеримых по Лебегу на от-
     резке [0,1] функций, причем существует M > 0 такое, что
     |fn (x)| 6 M для всех x ∈ [0,1] и n ∈ N. Доказать, что g(x) =
     = inf fn (x) является измеримой по Лебегу на отрезке [0,1].
          n∈N
 16. Доказать, что L∞ [0,1] и l∞ несепарабельны, а L1 [0,1] и l1 нере-
     флексивны.
 17. Привести пример множества A ⊂ [0,1] такого, что
      а) µA = 0, но A второй категории;
      б) µA = 1, но A первой категории.

9. Сопряжённое пространство, теорема Хана–Банаха,
              теорема Рисса–Фреше
     1. Доказать, что lp∗ ∼  = lq (1 < p < ∞, p−1 + q −1 = 1), l1∗ ∼
                                                                   = l∞ ,
         ∗ ∼       ∗ ∼                    ∗ ∼
        c0 = l1 , c = l1 . Верно ли, что l∞ = l1 ?
     2. Пусть E — нормированное пространство, f , f1 ,. . . ,fn — ли-


16

Страницы