Задачи по функциональному анализу. Власов В.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

11. Найти норму функционала ϕ на пространстве C[a,b]:
ϕ(f) =
Z
b
a
f(x)g(x) dx
(g — фиксированная непрерывная функция). Исследовать во-
прос о том, когда норма достигается.
12. Пусть M — подмножество нормированного пространства X.
Известно, что для любого f ∈ X
∗
sup
x∈M
|f(x)| < ∞. Доказать,
что sup
x∈M
kxk < ∞.
13. Пусть E — нормированное пространство, M ⊂ E — линейное
многообразие, всюду плотное в пространстве E. Пусть f ∈ E
∗
.
Определим множество N = M ∩Ker f . Доказать, что N всюду
плотно в Ker f.
14. Пусть E — банахово пространство, причем E
∗
сепарабельно.
Доказать, что E сепарабельно. Верно ли обратное?
15. Является ли L
1
[0,1] (C[0,1]) евклидовым пространством?
Имеет ли крайние точки единичный шар из L
1
[0,1] (C[0,1])?
Является ли пространство L
1
[0,1] (C[0,1]) сопряжённым к не-
которому банахову пространству?
16. Пусть E — банахово пространство, множество A ⊂ E выпукло
и замкнуто. Для любого f ∈ E
∗
определим σ
A
(f) = sup
x∈A
f(x).
Доказать, что
A = {x ∈ E : f(x) 6 σ
A
(f) ∀f ∈ E
∗
}.
10. Слабая и слабая* сходимость
1. Найти замыкание единичной сферы пространства l
2
в смысле
слабой сходимости.
2. Будет ли гильбертово (произвольное банахово) пространство
полным в смысле слабой сходимости?
3. Пусть f
n
(x) = sin nx (−π 6 x 6 π). Доказать, что f
n
в L
2
[−π,π]
сходится слабо, но не сильно.
4. Пусть множество M ⊂ L
2
[−π,π] состоит из функций вида
f
m,n
(x) = sin mx+m sin nx (−π 6 x 6 π). Доказать, что первое
слабое секвенциальное замыкание M не совпадает со вторым.
5. Сходится ли слабо последовательность sin(nx) в пространстве
C[a,b]?
18
 11. Найти норму функционала ϕ на пространстве C[a,b]:
                              Z b
                      ϕ(f ) =     f (x)g(x) dx
                                      a
     (g — фиксированная непрерывная функция). Исследовать во-
     прос о том, когда норма достигается.
 12. Пусть M — подмножество нормированного пространства X.
     Известно, что для любого f ∈ X ∗ sup |f (x)| < ∞. Доказать,
                                              x∈M
       что sup kxk < ∞.
            x∈M
 13. Пусть E — нормированное пространство, M ⊂ E — линейное
     многообразие, всюду плотное в пространстве E. Пусть f ∈ E ∗ .
     Определим множество N = M ∩ Ker f . Доказать, что N всюду
     плотно в Ker f .
 14. Пусть E — банахово пространство, причем E ∗ сепарабельно.
     Доказать, что E сепарабельно. Верно ли обратное?
 15. Является ли L1 [0,1] (C[0,1]) евклидовым пространством?
     Имеет ли крайние точки единичный шар из L1 [0,1] (C[0,1])?
     Является ли пространство L1 [0,1] (C[0,1]) сопряжённым к не-
     которому банахову пространству?
 16. Пусть E — банахово пространство, множество A ⊂ E выпукло
     и замкнуто. Для любого f ∈ E∗ определим σA (f ) = sup f (x).
                                                                 x∈A
       Доказать, что
                     A = {x ∈ E : f (x) 6 σA (f ) ∀ f ∈ E ∗ }.

                  10. Слабая и слабая* сходимость
     1. Найти замыкание единичной сферы пространства l2 в смысле
        слабой сходимости.
     2. Будет ли гильбертово (произвольное банахово) пространство
        полным в смысле слабой сходимости?
     3. Пусть fn (x) = sin nx (−π 6 x 6 π). Доказать, что fn в L2 [−π,π]
        сходится слабо, но не сильно.
     4. Пусть множество M ⊂ L2 [−π,π] состоит из функций вида
        fm,n (x) = sin mx + m sin nx (−π 6 x 6 π). Доказать, что первое
        слабое секвенциальное замыкание M не совпадает со вторым.
     5. Сходится ли слабо последовательность sin(nx) в пространстве
        C[a,b]?


18

Страницы