Математическая статистика. Волков С.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

V. СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ И НЕСМЕЩЕННОСТЬ
ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК
Обозначим через Ө некоторую генеральную характеристику (в
частности, это может, быть М(Х) или D(X). Ее числовое значение
неизвестно , однако можно получить ее оценку по некоторой формуле
связанной с выборкой (x
1
,х
2
, . . . ,х
n
) . Здесь Ө
n
пока еще число. Заменим в
формуле (10) набор конкретных чисел (x
1
,х
2
, . . . ,х
n
) совокупностью (x
1
,х
2
, . . . ,х
n
) обозначений тех результатов наблюдений, которые мы могли
бы получить. Но результат каждого отдельного наблюдения случайной
величины x
1
случаен, то есть (x
1
,х
2
, . . . ,х
n
)- это случайные величины,
поэтому оценка
также случайна. Можно говорить об ее математическом ожидании,
дисперсии и законе распределения. Представление оценки Υ
n
как
случайной величины позволяет сформулировать свойства, которыми
должна обладать оценка, чтобы те можно било считать хорошим
приближением к неизвестной генеральной характеристике. Среди них
ответим свойства несмещенности и состоятельности.
Несмещенность. Оценка Υ
n
генеральной характеристики Ө
называется несмещённой, если для любого фиксированного числа
наблюдений выполняется равенство
В математической статистика показывается, что средняя выборочная
является несмещенной оценкой для генеральной средней, а выборочная
дисперсия
(10)
(11) (11)
(12)
(13)
(14) 
          V. СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ И НЕСМЕЩЕННОСТЬ
              ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК

     Обозначим через Ө некоторую генеральную характеристику (в
частности, это может, быть М(Х) или D(X). Ее числовое значение
неизвестно , однако можно получить ее оценку по некоторой формуле

                                                            (10)

связанной с выборкой (x1 ,х2 , . . . ,хn ) . Здесь Өn пока еще число. Заменим в
формуле (10) набор конкретных чисел (x1 ,х2 , . . . ,хn ) совокупностью (x1
,х2 , . . . ,хn) обозначений тех результатов наблюдений, которые мы могли
бы получить. Но результат каждого отдельного наблюдения случайной
величины x1 случаен, то есть (x1 ,х2 , . . . ,хn)- это случайные величины,
поэтому оценка
                                                            (11)

также случайна. Можно говорить об ее математическом ожидании,
дисперсии и законе распределения. Представление оценки Υn как
случайной величины позволяет сформулировать свойства, которыми
должна обладать оценка, чтобы те можно било считать хорошим
приближением к неизвестной генеральной характеристике. Среди них
ответим свойства несмещенности и состоятельности.
      Н есм ещ енно ст ь . Оценка Υn генеральной характеристики Ө
называется несмещённой, если для любого фиксированного числа
наблюдений выполняется равенство
                                                             (12)

     В математической статистика показывается, что средняя выборочная

                                                             (13)


является несмещенной оценкой для генеральной средней, а выборочная
дисперсия
                                                             (14)

Страницы