Надежность функционирования систем электроснабжения. Волков Н.Г. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

70
Это предельное свойство биноминального распределения можно
записать в виде
()
.
!
1
lim
e
m
a
P
P
C
a
m
mn
m
m
n
n
−
−
∞→
=
−
(3.13)
Предельное свойство биноминального закона часто находит при-
менение на практике. Допустим, что производится большое количество
независимых опытов n, в каждом из которых событие А имеет очень
малую вероятность Р. Тогда для вычисления вероятности
P
m
n
того,
что событие А появится равно m раз, можно воспользоваться прибли-
женной формулой:
()
,
!
e
m
np
P
np
m
m
n
−
≈ (3.14)
где nр = а – параметр закона Пуассона, которым приближенно заменя-
ется биноминальное распределение.
От этого свойства закона Пуассона – выражать биноминальное
распределение при большом числе опытов и малой вероятности собы-
тия – происходит его название, часто применяемое в учебниках стати-
стики:
закон редких явлений.
Уместно заметить, что если при биноминальном распределении
вероятностей (p + q)
n
, величины р и q не сильно отличаются друг от
друга (не более чем на 2 порядка), например, р = 0,1 и q = 0,9 или р =
0,5 и q = 0,5, то при увеличении числа опытов n→∞ асимптотой бино-
минального распределения будет нормальный закон распределения.
Если же р и q резко отличаются, т. е. р→0 или
q→0, то при
n→∞ асимптотой биноминального распределения будет закон Пуассо-
на (закон редких явлений).
Таким образом, биноминальное распределение сводится в пределе
к двум – нормальному и пуассоновскому.
П р и м е р. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность по-
вреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в
пути будет повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трех; в) более
трех; г) хотя бы одно.
Р е ш е н и е. Число n = 500, а вероятность р = 0,002 мала и рас-
сматриваемые события
(повреждение изделий) независимы, поэтому
можно использовать формулу Пуассона (3.14) для определения вероят-
ностей биноминального распределения.
y Найдем параметр а = nр = 500 ⋅ 0,002 = 1.
Вероятность того, что будет повреждено ровно 3 изделия будет

Страницы