Надежность функционирования систем электроснабжения. Волков Н.Г. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

82
Выясним смысл численных параметров m и σ, входящих в вы-
ражение (3.30). Покажем, что величина m есть не что иное, как
мате-
матическое ожидание
, а величина σ – среднее квадратическое от-
клонение
величины Х. Для этого вычислим основные числовые харак-
теристики величины Х – математическое ожидание и дисперсию
[]
.
2
2σ
1
)(
σ
2
)(
2
dx
e
xdxxxfХМ
mx
∫∫
π
==
∞
∞−
−
−
∞
∞−
Введем новую переменную
2)/σ (x-m t = . Отсюда m
t
x
+= 2σ
и
d
t
dx 2σ = . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирова-
ния равны старым, получим
[]
.
2
)2(
1
22
2
dt
e
m
dt
te
dt
e
mt
ХМ
tt
t
∫
⋅
π
+
∫
⋅
π
σ
=⋅
∫
+σ
π
=
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
(3.31)
Первое слагаемое в формуле (3.31) равно нулю (под знаком инте-
грала нечетная функция; пределы интегрирования симметричны отно-
сительно начала координат). Второе слагаемое представляет собой из-
вестный интеграл Эйлера–Пуассона
.2
0
22
π=
∫
=
∫
∞
−
∞
∞−
−
dt
e
dt
e
tt
(3.32)
Следовательно,
М[X] = m,
т. е. параметр m представляет собой
математическое ожидание величи-
ны Х. Этот параметр часто называют
центром рассеивания или наи-
более вероятным значением случайной величины Х.
Вычислим дисперсию величины Х:
[]
()
.
2
2
1
Д
σ
2
)(
2
2
dx
e
mx
Х
mx
∫
−
πσ
=
∞
∞−
−
−
Применив снова замену переменной
,
2σ
−
=
mx
t
получим
[]
.
2
Д
2
2
2
dt
et
Х
t
∫
π
σ
=
∞
∞−
−
Интегрируя по частям последнее выражение, получим [1]

Страницы