Надежность электроснабжения. Волков Н.Г. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

каф. ЭСПП ЭЛТИ ТПУ
61
Предельное свойство биномиального закона часто находит применение на
практике. Допустим, что производится большое количество независимых опытов n, в
каждом из которых событие А имеет очень малую вероятность Р. Тогда для вычисле-
ния вероятности
P
m
n
того, что событие А появится равно m раз, можно воспользо-
ваться приближенной формулой
(
)
,
!
e
m
np
P
np
m
m
n
−
≈ (3.14)
где nр = а – параметр закона Пуассона, которым приближенно заменяется биноми-
альное распределение.
От этого свойства закона Пуассона – выражать биномиальное распределение
при большом числе опытов и малой вероятности события – происходит его название,
часто применяемое в учебниках статистики:
закон редких явлений.
Уместно заметить, что если при биномиальном распределении вероятностей (p
+ q)
n
, величины р и q не сильно отличаются друг от друга (не более чем на 2 поряд-
ка), например, р = 0,1 и q = 0,9 или р = 0,5 и q = 0,5, то при увеличении числа опытов
n→∞ асимптотой биномиального распределения будет нормальный закон распреде-
ления.
Если же р и q резко отличаются, т. е. р→0 или
q→0, то при n→∞ асимптотой
биномиального распределения будет закон Пуассона (закон редких явлений.
Таким образом биномиальное распределение сводится в пределе
к двум – нормальному и пуассоновскому.
П р и м е р. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения из-
делия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изде-
лий: а) ровно 3; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.
Р е ш е н и е. Число n = 500, а вероятность р = 0,002 мала и рассматриваемые
события
(повреждение изделий) независимы, поэтому можно использовать формулу
Пуассона (3.14) для определения вероятностей биномиального распределения.
а) Найдем параметр а = nр = 500 ⋅ 0,002 = 1.
Вероятность того, что будет повреждено ровно 3 изделия будет
()
.0613,0
6
36788,0
!3!
1
3
500
====
−
−
e
e
m
np
Р
np
m
б) Найдем вероятность того, что будет повреждено менее трех изделий:
.9197,036788,0
2
5
2
5
2
1
1
11
2
500
1
500
0
500
===++=++
−
−
−−
e
e
ee
РРР
в) Найдем вероятность того, что будет повреждено более трех изделий. Собы-
тия «повреждено более трех изделий» и «повреждено не более трех изделий» – про-
тивоположны, поэтому
[
]
. 1
3
500
2
500
1
500
0
500)3(
PPPPP
m
+++−=
>

Страницы