Надежность электроснабжения. Волков Н.Г. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

каф. ЭСПП ЭЛТИ ТПУ
71
вует точке х = m, по мере удаления от точки плотность распределения падает и, при
x → ± ∞, кривая асимптотически приближается
к оси абсцисс.
Выясним смысл численных параметров m и
σ, входящих в выражение (3.30). Покажем, что ве-
личина m есть не что иное, как
математическое
ожидание
, а величина σ – среднее квадратическое
отклонение
величины Х. Для этого вычислим ос-
новные числовые характеристики величины Х – ма-
тематическое ожидание и дисперсию
[]
.
σ
2
)(
2σ
1
)(
2
2
dx
e
mx
xdxxxfХМ
∫
−
∫
π
==
∞
∞−
−
∞
∞−
Введем новую переменную
2)/σ (x-m t = .
Отсюда
m
t
x
+= 2σ
и
d
t
dx 2σ =
. Приняв во внимание, что новые пределы интег-
рирования равны старым, получим
[]
.
21
22
2
)2(
dt
m
dtdtХМ
ete
e
mt
ttt
∫∫∫
+σ
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
⋅
π
+⋅
π
σ
=⋅
π
=
(3.31)
Первое слагаемое в формуле (3.31) равно нулю (под знаком интеграла нечетная
функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат).
Второе слагаемое представляет собой известный интеграл Эйлера-Пуассона
.2
0
22
π=
∫
=
∫
∞
−
∞
∞−
−
dt
e
dt
e
tt
(3.32)
Следовательно,
М[X] = m,
т. е. параметр m представляет собой
математическое ожидание величины Х. Этот па-
раметр часто называют
центром рассеивания или наиболее вероятным значением
случайной величины Х.
Вычислим дисперсию величины Х:
[]
()
.
2
2
1
Д
σ
2
)(
2
2
dx
e
mx
Х
mx
∫
−
πσ
=
∞
∞−
−
−
Применив снова замену переменной
,
2σ
−
=
mx
t
получим:
Рис. 3.10. Кривая распределения
нормального закона

Страницы