Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
θ
1
( T (X) > C(θ
1
) ) = α = P
θ
0
( T (X) > C(θ
0
) ) < P
θ
1
( T (X) > C(θ
0
) ).
C(θ
0
) < C(θ
1
) θ
0
< θ
1
, C(θ), θ ∈ Θ,
G(t |θ)
θ t, 0 < G(t |θ) < 1.
G(t |θ) = 1 − α
θ ∈ Θ C(θ) P
θ
( T (X) < C(θ) ) =
G( C( θ ) |θ ) = 1−α. θ =
θ = θ (X), G ( C( θ ) |θ ) = 1 −α. C(θ) = C( C
−1
(T ) ) = T,
G(T |θ) = 1 − α. 2
G(t |θ) = α.
T. (T, U)
T
S = T +U
(T, U), T = [ S ], U = S−[ S ],
[ S ] S. S
T =
P
n
k=1
X
k
T
t = 0, 1, . . . , n
p (t |θ) = C
t
n
θ
t
(1 − θ)
n−t
.
U,
Ïîñêîëüêó ÐÍÌ êðèòåðèé ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííûì (ñì. Ñëåäñòâèå 7.1), òî

  Pθ1 ( T (X) > C(θ1 ) ) = α = Pθ0 ( T (X) > C(θ0 ) ) < Pθ1 ( T (X) > C(θ0 ) ).

Ñëåäîâàòåëüíî, C(θ0 ) < C(θ1 ) ïðè ëþáûõ θ0 < θ1 , òàê ÷òî C(θ), θ ∈ Θ, 
ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ íà ïàðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå.

  ( ii ) Èç ñëåäñòâèÿ 7.1 âûòåêàåò, ÷òî G(t | θ) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî óáûâàþùåé
ôóíêöèåé θ â êàæäîé òî÷êå t, â êîòîðîé 0 < G(t | θ) < 1. Ñëåäîâàòåëü-
íî, óðàâíåíèå G(t | θ) = 1 − α èìååò íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ. Ïðè êàæ-
äîì θ ∈ Θ çíà÷åíèå C(θ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Pθ ( T (X) < C(θ) ) =
G( C( θ ) | θ ) = 1−α. Åñòåñòâåííî, ýòî óðàâíåíèå îñòàåòñÿ â ñèëå è ïðè θ =
θ = θ (X), òî åñòü G ( C( θ ) | θ ) = 1 − α. Òàê êàê C(θ) = C( C −1 (T ) ) = T,
òî ïîëó÷àåì èñêîìîå óðàâíåíèå G(T | θ) = 1 − α.         2
  Ïðè òåõ æå ïðåäïîëîæåíèÿõ ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåðõíÿÿ äîâåðèòåëüíàÿ
ãðàíèöà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ G(t | θ) = α.

  Äîêàçàííàÿ òåîðåìà ïðèìåíèìà è â ñëó÷àå äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé
ñòàòèñòèêè T. Ïàðà (T, U ) (ñì. çàìå÷àíèå, ïðåäøåñòâóþùåå ôîðìóëèðîâ-
êå Òåîðåìû 8.1) èìååò îñîáåííî ïðîñòîå ïðåäñòàâëåíèå, êîãäà T ïðèíèìàåò
öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñòàòèñòèêà S = T + U ýêâèâàëåíò-
íà ïàðå (T, U ), òàê êàê ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà T = [ S ], U = S −[ S ], ãäå
[ S ] åñòü íàèáîëüøåå öåëîå, íå ïðåâîñõîäÿùåå S. Ðàñïðåäåëåíèå S íåïðå-
ðûâíî è äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû ìîæíî ñòðîèòü, îòïðàâëÿÿñü îò ýòîé ñòà-
òèñòèêè.

  Ïðèìåð 8.1     . ÐÍÒ íèæíÿÿ äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà äëÿ âåðîÿòíîñòè
óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ â ñõåìå Áåðíóëëè. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü èñïû-
òàíèé â ñõåìå Áåðíóëëè îáëàäàåò ìîíîòîííûì îòíîñèòåëüíî äîñòàòî÷íîé
                  Pn
ñòàòèñòèêè T =       k=1 Xk   îòíîøåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ. Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè
ñòàòèñòèêè T ïî ñ÷èòàþùåé ìåðå îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî â öåëî÷èñëåííûõ
òî÷êàõ t = 0, 1, . . . , n è ðàâíà

                           p (t | θ) = C tn θ t (1 − θ)n−t .

  Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà U, èìåþùàÿ ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà
èíòåðâàëå [ 0, 1 ], èñïîëüçóåòñÿ â ïðîöåäóðå ðàíäîìèçàöèè äëÿ ÐÍÌ êðèòå-

                                          100

Страницы