Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ = θ
0
θ > θ
0
.
S = T +U
g (s |θ) = C
[ s ]
n
θ
[ s ]
(1 − θ)
n−[ s ]
, (8.1)
0 6 s < n + 1.
S
G(s|θ) = P(S < s|θ) = P(S < [s] |θ) + P(S = [s], 0 6 U < s − [s] |θ) =
[s]−1
X
k=0
p (k |θ) + C
[s]
n
θ
[s]
(1 − θ)
n−[s]
(s − [s]),
U T.
θ(S)
G(S |θ) = 1 − α, θ(S) G(S |θ) = α.
( θ (S), θ(S) ) (1 − 2α)
θ,
θ = θ
0
θ 6= θ
0
,
θ (θ, σ
2
)
σ
2
§
θ (0, θ)
§
ðèÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû θ = θ0 ïðè àëüòåðíàòèâå θ > θ0 . Cîãëàñíî ïðåäøå-
ñòâóþùåìó äàííîìó ïðèìåðó çàìå÷àíèþ, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÐÍÒ íèæíåé äî-
âåðèòåëüíîé ãðàíèöû ñ ïîìîùüþ Òåîðåìû 8.2 ââåäåì ñòàòèñòèêó S = T +U
è ïîêàæåì, ÷òî îíà èìååò íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ôóíêöèåé ïëîòíî-
ñòè
                          g (s | θ) = C [ns ] θ [ s ] (1 − θ) n−[ s ] ,      (8.1)
îòëè÷íîé îò íóëÿ òîëüêî â îáëàñòè 0 6 s < n + 1.
  Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè S

 G(s|θ) = P(S < s|θ) = P(S < [s] | θ) + P(S = [s], 0 6 U < s − [s] | θ) =
                 [s]−1
                 X
                         p (k | θ) + C n[s] θ [s] (1 − θ) n−[s] (s − [s]),
                 k=0
ïîñêîëüêó U íå çàâèñèò îò T. Ýòî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ÿâëÿåò-
ñÿ íèæíåé îãèáàþùåé ôóíêöèè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íåòðóäíî
âèäåòü, ÷òî åå ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (8.1). Òàêèì îáðàçîì,
íèæíÿÿ äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà θ(S) îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
G(S | θ) = 1 − α, à âåðõíÿÿ θ(S)  ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ G(S | θ) = α.
  Ïîíÿòíî, ÷òî ( θ (S), θ(S) ) áóäåò (1 − 2α) -äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì
äëÿ θ, íî ïîñêîëüêó ìû íå èìååì ÐÍÌ êðèòåðèÿ äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòå-
çû θ = θ0 ïðè àëüòåðíàòèâå θ 6= θ0 , òî ìû íè÷åãî íå ìîæåì ñêàçàòü îá
îïòèìàëüíîñòè òàêîãî äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà. Â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå
áóäóò ñòðîèòüñÿ ÐÍÌ íåñìåùåííûå êðèòåðèè äëÿ ïðîâåðêè òàêîãî ðîäà
ãèïîòåç, êîòîðûì áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ÐÍÒ íåñìåùåííûå äîâåðèòåëüíûå
èíòåðâàëû.

                                 Çà÷åòíûå çàäàíèÿ



1. Äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ θ íîðìàëüíîãî (θ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èç-
      âåñòíîì çíà÷åíèè σ 2 ïîñòðîéòå âåðõíþþ ÐÍÒ äîâåðèòåëüíóþ ãðàíèöó,
      èñïîëüçóÿ êðèòåðèé, ïîëó÷åííûé ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèÿ 1 èç § 7.

2. Äëÿ ïàðàìåòð ïîëîæåíèÿ θ ðàâíîìåðíîãî íà èíòåðâàëå (0, θ) ðàñïðåäå-
      ëåíèÿ íàéäèòå âåðõíþþ ÐÍÒ äîâåðèòåëüíóþ ãðàíèöó, èñïîëüçóÿ êðè-
      òåðèé, ïîëó÷åííûé ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèÿ 2 èç § 7.

                                              101

Страницы