Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
H
0
: θ ∈ Θ
0
H
1
: θ ∈
Θ
1
ϕ α H
0
.
θ ∈ Θ
1
α,
ϕ,
m(θ) = E
θ
ϕ(X) 6 α, θ ∈ Θ
0
, m(θ) > α, θ ∈ Θ
1
,
θ
1
6 θ 6 θ
2
θ = θ
0
,
θ
m(θ)
Θ, m(θ) = α θ ∈ Γ, Γ
Θ
0
Θ
1
= Θ
c
0
, θ
Θ
0
, Θ
1
.
Θ
0
Θ
1
.
P ( ·|θ ), θ ∈ Θ, X
        §   9. Ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûå

                  íåñìåùåííûå êðèòåðèè

  9.1. Ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûå íåñìåùåííûå êðèòåðèè äëÿ
îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñåìåéñòâ.                 Ðàññìîòðèì îá-
ùóþ ïðîáëåìó ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 : θ ∈ Θ0 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 : θ ∈
Θ1 è ïóñòü ϕ  êðèòåðèé çàäàííîãî óðîâíÿ α äëÿ ïðîâåðêè H0 . Åñëè ìîù-
íîñòü ýòîãî êðèòåðèÿ ïðè íåêîòîðûõ àëüòåðíàòèâíûõ çíà÷åíèÿõ θ ∈ Θ1
îêàæåòñÿ ìåíüøå óðîâíÿ α, òî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ
íóëåâîé ãèïîòåçû îêàæåòñÿ áîëüøå, ÷åì êîãäà îíà âåðíà. Åñòåñòâåííî, ýòî
íåæåëàòåëüíîå ñâîéñòâî êðèòåðèÿ, è åñëè ïðè ïîñòðîåíèè ÐÍÌ êðèòåðè-
åâ íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíîå îãðàíè÷åíèå íà êëàññ êîíêóðèðóþùèõ ïðî-
öåäóð ïðîâåðêè, óñòðàíÿþùåå òàêîãî ðîäà ïàòîëîãèè, òî ýòî áëàãîòâîðíî
îòðàçèòñÿ íà ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè êðèòåðèåâ.
  Îïðåäåëåíèå 9.1.    Êðèòåðèé ϕ, äëÿ ôóíêöèè ìîùíîñòè êîòîðîãî âû-
ïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

   m(θ) = E θ ϕ(X) 6 α, åñëè θ ∈ Θ0 ,      è     m(θ) > α, åñëè θ ∈ Θ1 ,

íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííûì.
  Îãðàíè÷åíèå íåñìåùåííîñòè íà êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ êðèòåðèåâ îêà-
çûâàåòñÿ ïîëåçíûì íå òîëüêî ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ  â øèðîêîì
êëàññå ïðîáëåì, ãäå ÐÍÌ êðèòåðèè íå ñóùåñòâóþò, òåì íå ìåíåå ñóùåñòâó-
þò ÐÍÌ íåñìåùåííûå êðèòåðèè.  ÷àñòíîñòè, ñþäà âêëþ÷àþòñÿ íåêîòî-
ðûå ãèïîòåçû âèäà θ1 6 θ 6 θ2 èëè θ = θ0 , êîãäà ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé
âûáîðêè çàâèñèò êðîìå θ òàêæå è îò äðóãèõ ( ìåøàþùèõ ) ïàðàìåòðîâ.
  Åñëè m(θ)  íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà ïàðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå
Θ, òî íåñìåùåííîñòü âëå÷åò m(θ) = α äëÿ âñåõ θ ∈ Γ, ãäå Γ  îáùàÿ
ãðàíèöà Θ0 è Θ1 = Θ c0 , òî åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê θ ïðåäåëüíûõ êàê äëÿ
Θ0 , òàê è äëÿ Θ1 . Êðèòåðèè, óäîâëåòâîðÿþùèå ïîñëåäíåìó óñëîâèþ, íàçû-
âàþòñÿ ïîäîáíûìè íà ãðàíèöå Θ0 è Θ1 . Òàê êàê îïåðèðîâàòü ñ óñëîâèåì
ïîäîáèÿ íà ãðàíèöå óäîáíåå, ÷åì ñ óñëîâèåì íåñìåùåííîñòè, òî ñëåäóþùàÿ
Ëåììà èãðàåò âàæíóþ ðîëü â îòûñêàíèè ÐÍÌ íåñìåùåííûõ êðèòåðèåâ.
  Ëåììà 9.1. Åñëè ðàñïðåäåëåíèÿ    P ( · | θ ), θ ∈ Θ,   ñëó÷àéíîé âûáîðêè   X

                                   103

Страницы