Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
∗
ϕ
∗
ϕ
∗
ϕ
∗
ϕ(x) ≡ α. 2
X.
§
p (x |θ) = B( θ ) exp
"
k
X
i=1
Q
i
( θ ) T
i
(x)
#
h(x).
h(x) µ,
p (x |θ) = B( θ ) exp
"
k
X
i=1
θ
i
T
i
(x)
#
.
§
ϕ
( X, A ).
Z
X
ϕ(x) exp
"
k
X
i=1
θ
i
T
i
(x)
#
dµ(x),
θ
1
, . . . , θ
k
,
òàêîâû, ÷òî ôóíêöèÿ ìîùíîñòè ëþáîãî êðèòåðèÿ íåïðåðûâíà, è åñëè                                   ϕ∗
ÿâëÿåòñÿ ÐÍÌ ñðåäè âñåõ êðèòåðèåâ, ïîäîáíûõ íà ãðàíèöå, òî                                ϕ∗    ÐÍÌ

íåñìåùåííûé êðèòåðèé.


  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Êëàññ êðèòåðèåâ, ïîäîáíûõ íà ãðàíèöå, ñîäåðæèò â
ñåáå êëàññ íåñìåùåííûõ êðèòåðèåâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäîáíûé íà ãðàíèöå
ÐÍÌ êðèòåðèé ϕ∗ ðàâíîìåðíî íå ìåíåå ìîùåí, ÷åì ëþáîé íåñìåùåííûé
êðèòåðèé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êðèòåðèé ϕ∗ ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííûì, òàê êàê
îí ðàâíîìåðíî íå ìåíåå ìîùåí, ÷åì êðèòåðèé ϕ(x) ≡ α.                                  2
  Äàëüíåéøèå ðåçóëüòàòû äàííîãî ïàðàãðàôà áóäóò îòíîñèòüñÿ ê ýêñïî-
íåíöèàëüíûì ñåìåéñòâàì ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âûáîðêè X. Ýòè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ áûëè îïðåäåëåíû â § 2 è èìåëè ïëîòíîñòü âèäà
                                        "   k
                                                                       #
                                            X
               p (x | θ) = B( θ ) exp             Qi ( θ ) Ti (x)             h(x).
                                            i=1

Èñïîëüçóÿ áîëåå åñòåñòâåííóþ ïàðàìåòðèçàöèþ è âêëþ÷àÿ ïîëîæèòåëüíûé
ìíîæèòåëü h(x) â äîìèíèðóþùóþ ìåðó µ, ïðèäàäèì ýêñïîíåíöèàëüíîìó
ñåìåéñòâó ôîðìó
                                               "   k
                                                                       #
                                                   X
                    p (x | θ) = B( θ ) exp               θi Ti (x) .
                                                   i=1

  Ýêñïîíåíöèàëüíûì ñåìåéñòâàì, êðîìå òîãî, ÷òî îíè îáëàäàþò äîñòàòî÷-
íûìè ñòàòèñòèêàìè, ïðèñóù ðÿä çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ, êîòîðûå áóäóò
ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì. Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ñâîéñòâ
íå ñëîæíû è èõ ìîæíî íàéòè â êíèãå Ý.Ëåìàíà Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ
ãèïîòåç, § 7, ãëàâà 2.

  Ëåììà 9.2. Ïóñòü        ϕ    îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ íà âûáîðî÷-

íîì ïðîñòðàíñòâå   ( X, A ). Òîãäà èíòåãðàë
                      Z           " k            #
                                    X
                         ϕ(x) exp       θi Ti (x) dµ(x),
                      X                 i=1

ðàññìàòðèâàåìûé êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ                   θ1 , . . . , θ k ,   îáëàäàåò ïðîèçâîä-

íûìè ëþáîãî ïîðÿäêà è ýòè ïðîèçâîäíûå ìîæíî âû÷èñëÿòü äèôôåðåíöè-

ðîâàíèåì ïîä çíàêîì èíòåãðàëà.



                                         104

Страницы