Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α
Γ = {θ
1
, θ
2
},
E
θ
ϕ(X) θ,
[ θ
1
, θ
2
]
1 − ϕ(x),
θ
1
θ
2
,
2
X
H
0
: θ = θ
0
H
1
: θ 6= θ
0
C γ
E
θ
0
ϕ(X) = α. (9.4)
E
θ
0
[ T (X) ϕ(X) ] = α E
θ
0
T (X). (9.5)
C γ
T = T (X),
x
ϕ = ϕ(T ).
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â ñèëó Ëåììû 9.2 ôóíêöèÿ ìîùíîñòè ëþáîãî êðè-
òåðèÿ äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ñåìåéñòâà íåïðåðûâíà, ïîýòîìó ïðèìåíèìà
Ëåììà 9.1  íåñìåùåííîñòü çàìåíÿåòñÿ òðåáîâàíèåì ïîäîáèÿ íà ãðàíèöå,
òàê ÷òî ÐÍÌ êðèòåðèé óðîâíÿ α äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì (9.3).
  Ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ òî÷åê Γ = { θ1 , θ2 }, ïîýòîìó ðàññìîòðèì ñíà÷àëà
çàäà÷ó ìàêñèìèçàöèè E θ ϕ(X) äëÿ çíà÷åíèÿ θ, ëåæàùåãî âíå èíòåðâàëà
[ θ1 , θ2 ] ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åíèé (9.3). Åñëè çàäà÷ó ñôîðìóëèðîâàòü â òåð-
ìèíàõ 1 − ϕ(x), òî èç ÷àñòè ( ii ) Òåîðåìû 7.2 âûòåêàåò, ÷òî åå ðåøåíèå
äàåòñÿ ôîðìóëàìè (9.2) è (9.3). Ñëåäîâàòåëüíî, êðèòåðèé (9.2) åñòü ÐÍÌ
êðèòåðèé â êëàññå âñåõ íåñìåùåííûõ êðèòåðèåâ. Êàê âèäíî èç ÷àñòè ( iii )
Òåîðåìû 7.2, ôóíêöèÿ ìîùíîñòè ýòîãî êðèòåðèÿ èìååò ìèíèìóì â òî÷êå,
ðàñïîëîæåííîé ìåæäó θ1 è θ2 , è ñòðîãî âîçðàñòàåò ïðè óäàëåíèè îò òî÷êè
ìèíèìóìà âëåâî èëè âïðàâî.         2
  Òåîðåìà 9.2. Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âûáîðêè       X   ïðèíàäëåæèò

îäíîïàðàìåòðè÷åñêîìó ýêñïîíåíöèàëüíîìó ñåìåéñòâó ñ ïëîòíîñòüþ          (9.1).
Òîãäà äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû    H0 : θ = θ0                     6 θ0
                                                        H1 : θ =
                                             ïðè àëüòåðíàòèâå

ñóùåñòâóåò ÐÍÌ íåñìåùåííûé êðèòåðèé, îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâàìè (9.2).

Ïîñòîÿííûå C è γ â ýòîì ñëó÷àå íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé


                              E θ0 ϕ(X) = α.                           (9.4)

                     E θ0 [ T (X) ϕ(X) ] = α E θ0 T (X).               (9.5)
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î òîãî, ÷òî èñêîìûé ÐÍÌ íåñìåùåííûé êðèòåðèé èìå-
åò âèä (9.2), íå ñòîëü ñëîæíî, ñêîëüêî òðåáóåò íåñêîëüêèõ ïðåäâàðèòåëüíûõ
ëåìì è, â ïåðâóþ î÷åðåäü, îáîáùåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ëåììû Íåéìàíà
Ïèðñîíà íà ñëó÷àé ðàçëè÷åíèÿ áîëåå ÷åì äâóõ ãèïîòåç. Ïîýòîìó äîêàçà-
òåëüñòâî ýòîé ÷àñòè òåîðåìû ìû îïóñêàåì, íî òî, ÷òî ïîñòîÿííûå C è γ
îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé (9.4) è (9.5), äîêàçàòü ïðîñòî íåîáõîäèìî äëÿ
ïîíèìàíèÿ äàëüíåéøèõ ðåçóëüòàòîâ äàííîãî ïàðàãðàôà.
  Ýêñïîíåíöèàëüíîå ñåìåéñòâî (9.1) îáëàäàåò äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé
T = T (X), ïîýòîìó â ñèëó Òåîðåìû 2.1 ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ êðèòåðè-
ÿìè, çàâèñÿùèìè îò x òîëüêî ÷åðåç çíà÷åíèÿ äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè:
ϕ = ϕ(T ). Èç óòâåðæäåíèÿ ( I ) Ëåììû 9.3 ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèþ ìîù-


                                       106

Страницы