Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
dP (x |θ, ϑ) = B( θ, ϑ ) exp
"
r
X
i=1
θ
i
U
i
(x) +
s
X
j=1
ϑ
j
T
j
(x)
#
dµ(x).
λ
θ
, θ ∈ Θ, ν
t
, t ∈ T, s
r
T = (T
1
, . . . , T
s
)
d P
T
(t |θ, ϑ) = B( θ, ϑ ) exp
"
s
X
j=1
ϑ
j
t
j
#
dλ
θ
(t),
U = (U
1
, . . . , U
r
)
T
d P
U |T
θ
( u |t ) = B
t
( θ ) exp
"
r
X
i=1
θ
i
u
i
#
dν
t
(u),
ϑ.
X
p ( x |θ) = B(θ) exp{θ T (x) }h(x). (9.1)
H
0
: θ
1
6 θ 6 θ
2
H
1
:
θ < θ
1
θ > θ
2
ϕ(x) =
1, T (x) < C
1
T (x) > C
2
,
γ
i
, T (x) = C
i
, i = 1, 2 ,
0, C
1
< T (x) < C
2
,
(9.2)
C
i
γ
i
E
θ
1
ϕ(X) = E
θ
2
ϕ(X) = α. (9.3)
    Ëåììà 9.3. Ïóñòü              X   èìååò ðàñïðåäåëåíèå èç ýêñïîíåíöèàëüíîãî ñåìåé-

ñòâà
                                               "   r                     s
                                                                                            #
                                                   X                     X
           dP (x | θ, ϑ) = B( θ, ϑ ) exp                   θi Ui (x) +         ϑj Tj (x) dµ(x).
                                                   i=1                   j=1

Òîãäà ñóùåñòâóþò ìåðû                  λ θ , θ ∈ Θ,   è âåðîÿòíîñòíûå ìåðû                ν t , t ∈ T,   íà   s
è   r -ìåðíîì         ýâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ ñîîòâåòñòâåííî, òàêèå, ÷òî

    (I)      ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðíîé ñòàòèñòèêè                    T = (T1 , . . . , Ts )   ïðèíàäëåæèò

ýêñïîíåíöèàëüíîìó ñåìåéñòâó
                                                              "   s
                                                                               #
                                                                  X
                       d P T (t | θ, ϑ) = B( θ, ϑ ) exp                 ϑj tj dλ θ (t),
                                                                  j=1

    ( II )       óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðíîé ñòàòèñòèêè                        U = (U1 , . . . , Ur )
îòíîñèòåëüíî ñòàòèñòèêè                 T   ïðèíàäëåæèò ýêñïîíåíöèàëüíîìó ñåìåéñòâó

âèäà                                                          "             #
                                                                  r
                           U |T
                                                                  X
                        d Pθ      ( u | t ) = Bt ( θ ) exp              θi ui dν t (u),
                                                                  i=1
òî åñòü, â ÷àñòíîñòè, íå çàâèñèò îò                   ϑ.
    Îïðåäåëèì òåïåðü âèä ÐÍÌ êðèòåðèåâ äëÿ ïðîâåðêè äâóõñòîðîííèõ ãè-
ïîòåç, êîãäà ðåäóêöèÿ êëàññà ðàññìàòðèâàåìûõ êðèòåðèåâ ê êëàññó íåñìå-
ùåííûõ ïðèâîäèò ê ñóùåñòâîâàíèþ ÐÍÌ êðèòåðèåâ.
    Òåîðåìà 9.1. Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âûáîðêè                                X     ïðèíàäëåæèò

îäíîïàðàìåòðè÷åñêîìó ýêñïîíåíöèàëüíîìó ñåìåéñòâó ñ ïëîòíîñòüþ


                               p ( x | θ) = B(θ) exp{ θ T (x) } h(x).                                    (9.1)

Òîãäà äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû   H0 : θ1 6 θ 6 θ2 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 :
θ < θ1 èëè θ > θ2 ñóùåñòâóåò ÐÍÌ íåñìåùåííûé êðèòåðèé, îïðåäåëÿåìûé
ðàâåíñòâàìè
                              
                              
                               1, åñëè T (x) < C1 èëè T (x) > C2 ,
                              
                       ϕ(x) =   γi , åñëè T (x) = Ci , i = 1, 2 ,                                        (9.2)
                              
                               0, åñëè C < T (x) < C ,
                              
                                            1            2

ãäå   Ci     è   γi   íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé


                                      E θ1 ϕ(X) = E θ2 ϕ(X) = α.                                         (9.3)

                                                      105

Страницы