Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U u
x.
ϕ(X)
{(x, u) : ϕ(x) > u }.
θ
0
∈ Θ
α H(θ
0
) : θ = θ
0
. A(θ
0
) ⊂ X
H(θ
0
). x
X Θ(x)
Θ(x) = {θ : x ∈ A(θ), θ ∈ Θ }.
Θ(X) θ
1 − α.
A(θ
0
) α
H(θ
0
) K(θ
0
), Θ(X)
P
θ
( Θ(X) 3 θ
0
) θ ∈ K(θ
0
)
θ
1 − α.
Θ(x) θ ∈ Θ(x)
x ∈ A(θ),
P
θ
( θ ∈ Θ(X) ) = P
θ
( X ∈ A(θ) ) > 1 − α.
Θ
∗
(X) 1−α
A
∗
(θ) = {x : θ ∈ Θ
∗
(X) },
P
θ
( X ∈ A
∗
(θ) ) = P
θ
( Θ
∗
(X) 3 θ ) > 1 − α,
A
∗
(θ
0
)
H(θ
0
) α. A(θ
0
)
A(θ
0
),
θ ∈ K(θ
0
)
θ ∈ K(θ
0
)
P
θ
( X ∈ A
∗
(θ
0
) ) > P
θ
( X ∈ A(θ
0
)),
äîìèçèðîâàííûõ êðèòåðèåâ, åñëè ïðîöåäóðó ðàíäîìèçàöèè îñóùåñòâëÿòü
ñ ïîìîùüþ íàáëþäåíèÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà èíòåðâàëå [ 0, 1 ]
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû U è âêëþ÷èòü ðåçóëüòàò u åå íàáëþäåíèÿ â âûáîðî÷-
íûå äàííûå x. Òîãäà ëþáîé ðàíäîìèçèðîâàííûé êðèòåðèé ñ êðèòè÷åñêîé
ôóíêöèåé ϕ(X) ýêâèâàëåíòåí (èìååò òó æå ôóíêöèþ ìîùíîñòè) íåðàíäî-
ìèçèðîâàííîìó êðèòåðèþ ñ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ { (x, u) : ϕ(x) > u }.


  Òåîðåìà 8.1.        (i)    Ðàññìîòðèì äëÿ êàæäîãî     θ0 ∈ Θ        êàêîé-ëèáî êðèòåðèé

óðîâíÿ     α   äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû          H(θ0 ) : θ = θ0 .        Ïóñòü   A(θ0 ) ⊂ X   

îáëàñòü ïðèíÿòèÿ           H(θ0 ).   Ïðè êàæäîì ðåçóëüòàòå       x   íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé

âûáîêè     X   îïðåäåëèì ïîäìíîæåñòâî              Θ(x)   çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, ïîëàãàÿ

                               Θ(x) = { θ : x ∈ A(θ), θ ∈ Θ }.
Òîãäà Θ(X) ÿâëÿåòñÿ äîâåðèòåëüíûì ìíîæåñòâîì äëÿ θ                          ñ äîâåðèòåëüíûì

óðîâíåì 1 − α.

  ( ii )   Åñëè   A(θ0 )   ÿâëÿåòñÿ ÐÍÌ êðèòåðèåì óðîâíÿ              α   äëÿ ïðîâåðêè ãèïî-

òåçû   H(θ0 )     ïðè àëüòåðíàòèâå       K(θ0 ),   òî   Θ(X)    ìèíèìèçèðóåò âåðîÿòíîñòü

                            Pθ ( Θ(X) 3 θ 0 ) äëÿ âñåõ θ ∈ K(θ 0 )
â êëàññå âñåõ äîâåðèòåëüíûõ ìíîæåñòâ äëÿ                    θ   ñ äîâåðèòåëüíûì óðîâíåì

1 − α.
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ( i ) Ïî îïðåäåëåíèþ Θ(x) âêëþ÷åíèå θ ∈ Θ(x)
âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ∈ A(θ), è, ñëåäîâàòåëüíî,
                      Pθ ( θ ∈ Θ(X) ) = Pθ ( X ∈ A(θ) ) > 1 − α.
  ( ii ) Åñëè Θ ∗ (X)  ëþáîå äðóãîå äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî óðîâíÿ 1−α
è åñëè A∗ (θ) = { x : θ ∈ Θ ∗ (X) }, òî
                     Pθ ( X ∈ A∗ (θ) ) = Pθ ( Θ ∗ (X) 3 θ ) > 1 − α,
òàê ÷òî A∗ (θ0 ) ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ ïðèíÿòèÿ äëÿ êðèòåðèÿ ïðîâåðêè ãèïî-
òåçû H(θ0 ) ñ óðîâíåì α. Òàê êàê A(θ0 )  îáëàñòü ïðèíÿòèÿ ÐÍÌ êðè-
òåðèÿ, òî âåðîÿòíîñòü ïðèíàäëåæíîñòè âûáîðî÷íûõ äàííûõ A(θ0 ), êîãäà
θ ∈ K(θ0 ) (âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà) ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà-
÷åíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì θ ∈ K(θ0 )
                            Pθ ( X ∈ A∗ (θ0 ) ) > Pθ ( X ∈ A(θ0 )),

                                               98

Страницы