Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
ˆ
θ(X) θ
∆.
P
θ
( |
ˆ
θ(X) − θ | 6 ∆ )
θ ∈ Θ
θ,
Θ.
Θ(X)
Θ,
(1 −α)
Θ(X) θ
1−α
θ ∈ Θ :
θ∈Θ
P
θ
( Θ(X) 3 θ ) > 1 − α.
Θ ⊂ R,
R : Θ(X) = ( θ(X), θ(X) ), Θ(X) 1−α
θ(X)
Θ(X) = ( θ(X), ∞), θ(X)
Θ(X) = ( −∞, θ(X) ),
θ(X)
         §   8. Ðàâíîìåðíî íàèáîëåå òî÷íûå

                äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû

   ïðîáëåìå òî÷å÷íîé îöåíêè θ̂(X) ïàðàìåòðà θ ïðè ôóíêöèè ïîòåðü òè-
ïà 1 0 ðàññìàòðèâàëñÿ êëàññ îöåíîê, ãàðàíòèðóþùèõ çàäàííóþ òî÷íîñòü
∆. Â ýòîì êëàññå èñêàëàñü îöåíêà, êîòîðàÿ äîñòàâëÿëà ìàêñèìóì íåêîòî-
ðûì ôóíêöèîíàëîì îò íàäåæíîñòè Pθ ( | θ̂(X) − θ | 6 ∆ ) ïðîöåäóðû îöå-
íèâàíèÿ, íàïðèìåð, ìàêñèìèçèðîâàëîñü íàèìåíüøåå çíà÷åíèå íàäåæíîñòè
ïî θ ∈ Θ èëè ñðåäíåå çíà÷åíèå íàäåæíîñòè ïî íåêîòîðîìó àïðèîðíîìó
ðàñïðåäåëåíèþ íà ïàðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðè ìàëûõ îáúåìàõ íà-
áëþäåíèé òðóäíî îæèäàòü áîëüøóþ âåëè÷èíó íàäåæíîñòè äàæå äëÿ îïòè-
ìàëüíûõ îöåíîê è íå ñëèøêîì æåñòêèõ òðåáîâàíèé ê òî÷íîñòè. Ïîýòîìó íà
ïðàêòèêå ÷àùå ïûòàþòñÿ êîíòðîëèðîâàòü íàäåæíîñòü îöåíêè, íå íàêëàäû-
âàÿ îãðàíè÷åíèÿ íà òî÷íîñòü, êîòîðàÿ ìîæåò çàâèñåòü îò ðåçóëüòàòîâ íà-
áëþäåíèé. Ýòî òàê íàçûâàåìûé ìåòîä äîâåðèòåëüíîé èëè èíòåðâàëüíîé
îöåíêè θ, êîòîðûé áóäåò èçó÷àòüñÿ â äàííîì ïàðàãðàôå. Íî ñíà÷àëà äà-
äèì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå îáúåêòà äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé â îáùåì ñëó÷àå
àáñòðàêòíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Θ.

  Îïðåäåëåíèå 8.1.   Ïîäìíîæåñòâî Θ(X) ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàí-
ñòâà Θ, ðàçìåðû è êîíôèãóðàöèÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè âû-
áîðî÷íûõ äàííûõ, íàçûâàåòñÿ (1 − α) -äîâåðèòåëüíûì ìíîæåñòâîì, åñëè
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî Θ(X) íàêðîåò èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ áîëü-
øå èëè ðàâíà çàäàííîìó äîâåðèòåëüíîìó óðîâíþ 1−α ïðè ëþáîì çíà÷åíèè
θ∈Θ:
                     inf Pθ ( Θ(X) 3 θ ) > 1 − α.
                    θ∈Θ
  Åñëè Θ ⊂ R, à äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî èìååò âèä èíòåðâàëà íà ïðÿìîé
R : Θ(X) = ( θ(X), θ(X) ), òî Θ(X) íàçûâàåòñÿ 1 − α -äîâåðèòåëüíûì èí-
òåðâàëîì, â êîòîðîì ðàçëè÷àþòñÿ íèæíèé θ(X) è âåðõíèé äîâåðèòåëü-
íûå ïðåäåëû. Åñëè Θ(X) = ( θ(X), ∞ ), òî ñòàòèñòèêà θ(X) íàçûâàåòñÿ
íèæíåé äîâåðèòåëüíîé ãðàíèöåé, à åñëè Θ(X) = ( − ∞, θ(X) ), òî ñòàòè-
ñòèêà θ(X) íàçûâàåòñÿ âåðõíåé äîâåðèòåëüíîé ãðàíèöåé.

   îáùåì êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ñòðîèëèñü äîâåðèòåëüíûå èí-

                                  96

Страницы