Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n → ∞
(1−α) Θ
∗
(X)
B ⊂
Θ × Θ, (θ, θ
0
) ∈ B (1 − α)
Θ(X)
P
θ
( Θ
∗
(X) 3 θ
0
) 6 P
θ
( Θ(X) 3 θ
0
).
1 − α θ
θ
0
, θ (θ, θ
0
) ∈ B
B
θ(X),
θ
0
> θ,
B = {(θ, θ
0
) : θ
0
> θ }.
θ, B = {(θ, θ
0
) : θ
0
6= θ }.
òåðâàëû äëÿ ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è àñèìïòîòè÷åñêè
(îáúåì íàáëþäåíèé n → ∞ ) äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ âåðîÿòíîñòè
óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ â ñõåìå Áåðíóëëè è ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàñ-
ñîíà. Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ, íàñêîëüêî õîðîøè ýòè èíòåðâàëû
è, âîîáùå, êàê ââåñòè ïîíÿòèå îïòèìàëüíîãî äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà?
Åñòåñòâåííîå æåëàíèå ñòðîèòü äîâåðèòåëüíûå ìíîæåñòâà íàèìåíüøåãî (â
ñðåäíåì) äèàìåòðà èëè îáúåìà, íî òàêèå ìíîæåñòâà ñóùåñòâóþò î÷åíü ðåä-
êî è ïðè âåñüìà ñïåöèôè÷åñêèõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ñòàòèñòè÷åñêóþ ìîäåëü.
Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå îïòèìàëüíîãî äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà, ìåòî-
äàì ïîñòðîåíèÿ êîòîðîãî ïîñâÿùåíî äàëüíåéøåå ñîäåðæàíèå äàííîãî ïà-
ðàãðàôà, ïðèíàäëåæèò Äæ.Íåéìàíó.

  Îïðåäåëåíèå 8.2.  (1−α) -äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî Θ∗ (X) íàçûâàåòñÿ
ðàâíîìåðíî íàèáîëåå òî÷íûì (ÐÍÒ) äîâåðèòåëüíûì ìíîæåñòâîì íà B ⊂
Θ × Θ, åñëè äëÿ ëþáûõ (θ, θ 0 ) ∈ B è ëþáîãî (1 − α) -äîâåðèòåëüíîãî
ìíîæåñòâà Θ(X) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

                Pθ ( Θ∗ (X) 3 θ 0 ) 6 Pθ ( Θ(X) 3 θ 0 ).

  Òàêèì îáðàçîì, ÐÍÒ äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî ñ ïðåäïèñàííîé âåðîÿò-
íîñòüþ 1 − α íàêðûâàåò èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ è ñ íàèìåíüøåé
(ïî ñðàâíåíèþ ñ îñòàëüíûìè äîâåðèòåëüíûìè ìíîæåñòâàìè)  äðóãîå çíà-
÷åíèå ïàðàìåòðà θ 0 , êîòîðîå ñâÿçàíî ñ θ ñîîòíîøåíèåì (θ, θ 0 ) ∈ B . Âû-
áîð ìíîæåñòâà B çàâèñèò, åñòåñòâåííî, îò êîíôèãóðàöèè äîâåðèòåëüíîãî
ìíîæåñòâà. Òàê, åñëè ñòðîèòñÿ âåðõíÿÿ äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà θ(X), òî
ìèíèìèçèðóåòñÿ âåðîÿòíîñòü íàêðûòèÿ çíà÷åíèé θ 0 > θ, ñëåäîâàòåëüíî
B = { (θ, θ 0 ) : θ 0 > θ }. Åñëè ñòðîèòñÿ äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, òî ñëå-
äóåò ìèíèìèçèðîâàòü âñå òî÷êè, ëåæàùèå ïî îáå ñòîðîíû îò èñòèííîãî
çíà÷åíèÿ θ, òàê ÷òî B = { (θ, θ 0 ) : θ 0 6= θ }.
  Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì ïîñòðîåíèÿ ÐÍÒ äîâåðèòåëüíûõ ìíîæåñòâ ñëó-
æàò ÐÍÌ êðèòåðèè ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå íóëåâîé è àëüòåðíàòèâíîé ãè-
ïîòåç. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà, î êîòîðîì ãîâîðèëîñü â îáùåì êóðñå ìàòåìàòè÷å-
ñêîé ñòàòèñòèêè, ðàñêðûâàåò ñëåäóþùàÿ Òåîðåìà 8.1. Â åå ôîðìóëèðîâêå
ïðèñóòñòâóþò íåðàíäîìèçèðîâàííûå êðèòåðèè ñ çàäàííîé îáëàñòüþ ïðèíÿ-
òèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû. Òåì íå ìåíåå, îíà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è äëÿ ðàí-

                                    97

Страницы