Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

H
0
: θ 6 θ
0
H
1
: θ > θ
0
,
(θ, σ
2
) θ
ϑ,
(µ, τ
2
).
(β
0
, β
1
)
H
0
β
0
H
1
β
1
. H
1
,
H
0
.
ϑ (M, S
2
).
ν = min
n : Φ
θ
0
− M
S
6 β
0
Φ
θ
0
− M
S
> 1 −β
1
,
θ
0
−
r
n
σ
2
+
1
τ
2
Φ
−1
(1−β
1
) <
nX
n
σ
−2
+ µτ−2
nσ
−2
+ τ
−2
< θ
0
+
r
n
σ
2
+
1
τ
2
Φ
−1
(1−β
0
) .
X
n
(µ = θ
0
),
E ν = ∞ µ
θ
0
,
σ
2
/τ
2
,
  Ïðèìåð 12.4        . D-ãàðàíòèéíàÿ ïðîöåäóðà ïåðâîãî ïåðåðåñêîêà â ïðîáëå-
ìå ðàçëè÷åíèÿ äâóõ ñëîæíûõ ãèïîòåç î ñðåäíåì çíà÷åíèè íîðìàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàññìàòðèâàåòñÿ òà æå çàäà÷à, ÷òî è â ïðèìåðå 11.2 ïðåäû-
äóùåãî ïàðàãðàôà, íî òåïåðü ñòàâèòñÿ çàäà÷à êîíòðîëèðîâàíèÿ d-ðèñêà íå
òîëüêî ïåðâîãî ðîäà, íî è âòîðîãî.
  Èòàê, ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà H0 : θ 6 θ0 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 : θ > θ0 ,
ïî âûáîðêå èç íîðìàëüíîãî (θ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ, êîãäà θ åñòü ðåàëèçàöèÿ
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϑ, èìåþùåé íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðà-
ìè (µ, τ 2 ). Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü êðèòåðèé ïåðâîãî ïåðåñêîêà, ãàðàíòèðóþ-
ùèé çàäàííûå îãðàíè÷åíèÿ (β0 , β1 ) íà ñîîòâåòñòâóþùèå d-ðèñêè.
  Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîé êðèòåðèé áóäåò îñòàíàâëèâàòü ýêñïåðèìåíò, êîãäà
âïåðâûå èëè àïîñòåðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü ãèïîòåçû H0 ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå
β0 èëè H1  ìåíüøå β1 .  ïåðâîì ñëó÷àå ïðèíèìàåòñÿ ãèïîòåçà H1 , âî
âòîðîì  H0 . Ìû òîëüêî ÷òî â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå íàïîìèíàëè, ÷òî
àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ϑ åñòü íîðìàëüíîå ñ ïàðàìåòðàìè (M, S2 ).
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîìåíò îñòàíîâêè
                                                                                  
                                θ0 − M                        θ0 − M
       ν = min       n: Φ                    6 β0 èëè Φ                     > 1 − β1       ,
                                  S                             S

òàê ÷òî îáëàñòü ïðîäîëæåíèÿ íàáëþäåíèé èìååò ñëåäóþùèé âèä:
       r                                                            r
           n   1 −1        nX n σ −2 + µτ −2                            n   1 −1
θ0 −         + Φ (1−β1 ) <                   < θ0 +                       +    Φ (1−β0 ) .
           σ2 τ 2            nσ −2 + τ −2                               σ2 τ 2
  Òàêèì îáðàçîì, â çàäà÷å d-ãàðàíòèéíîãî ðàçëè÷åíèÿ ãèïîòåç ïðîöåäóðà
ïåðâîãî ïåðåñêîêà îêàçûâàåòñÿ ñòðîãî ïîñëåäîâàòåëüíîé ïðîöåäóðîé, ìî-
ìåíò îñòàíîâêè êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ âûõîäîì âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî X n
èç íåêîòîðîãî èíòåðâàëà.
  Ðåçóëüòàòû ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðîöåäóðà
ïåðâîãî ïåðåñêîêà îáëàäàåò áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ îñòàíîâêè íà ïåðâûõ
øàãàõ ýêñïåðèìåíòà äàæå â òîì ñëó÷àå, êîãäà àïðèîðíîå ñðåäíåå ñîâïàäà-
åò ñ ãðàíèöåé ðàçëè÷àåìûõ ãèïîòåç (µ = θ0 ), íî, ïî âñåé âåðîÿòíîñòè, â
ýòîì ñëó÷àå E ν = ∞ (ãèïîòåçà!). Êîíå÷íî, åñëè µ ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò
θ0 , òî îñòàíîâêà, êàê ïðàâèëî, áóäåò ïðîèñõîäèòü ïîñëå ïåðâîãî íàáëþäå-
íèÿ. Ñâîþ ëåïòó â òàêîãî ðîäà êîììåíòàðèé âíîñèò è îòíîøåíèå äèñïåðñèé
σ 2 /τ 2 , è âû ñàìè ìîæåòå ñóäèòü î âîçäåéñòâèè ýòîãî îòíîøåíèÿ íà ïîâå-

                                               168

Страницы