Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
1
, X
2
, . . .
N(θ, σ
2
)
θ
σ
2
, θ
ϑ ∼ N(µ, τ
2
).
ˆ
θ
ν
=
ˆ
θ(X
(ν)
)
∆
P
|
ˆ
θ
ν
− ϑ | 6 ∆ |
ˆ
θ(X
(ν)
) = d
> 1 − α, ∀d ∈ D = Θ = R .
§ r(d) = α d ∈
Θ,
ϑ §
M =
nX σ
−2
+ µ τ
−2
nσ
−2
+ τ
−2
S
2
=
1
nσ
−2
+ τ
−2
,
θ M,
n
∗
,
2Φ( ∆/S ) − 1 > 1 − α,
n
∗
=
"
Φ
−1
(1 − α/2)
∆
σ
2
−
σ
2
τ
2
#
+ 1 .
θ
τ
2
τ
2
θ µ.
θ = µ
  Ïðèìåð 12.3   . D-ãàðàíòèéíàÿ îöåíêà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íîðìàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü íàáëþäàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X1 , X2 , . . . ñîñòîèò
èç íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ N (θ, σ 2 ) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ θ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé σ 2 , êîãäà íå èçâåñòíîå çíà÷åíèå θ åñòü ðåàëèçàöèÿ
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϑ ∼ N (µ, τ 2 ). Îöåíêà θ̂ν = θ̂(X (ν) ) äîëæíà áûòü
d-ãàðàíòèéíîé  óäîâëåòâîðÿòü çàäàííûì òðåáîâàíèÿì ê òî÷íîñòè ∆ è d-
íàäåæíîñòè, òî åñòü äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
                                             
                                  (ν)
       P | θ̂ν − ϑ | 6 ∆ | θ̂(X         )=d       > 1 − α, ∀ d ∈ D = Θ = R .
  Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì ïðîáëåìó îöåíêè äåéñòâèòåëüíîãî ïàðàìåòðà
ïðè ôóíêöèè ïîòåðü 1 0 â ðàìêàõ ìîäåëè NN, êîòîðóþ ìû ðàññìàòðèâàëè
â § 4 ñ áàéåñîâñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Îãðàíè÷åíèÿ r(d) = α íå çàâèñÿò îò d ∈
Θ, ïîýòîìó íîðìèðîâàòü àïîñòåðèîðíûé ðèñê íå ñòîèò, ê òîìó æå óäîáíåå
îïåðèðîâàòü íå ðèñêîì, à íàäåæíîñòüþ îöåíêè. Ïîñêîëüêó àïîñòåðèîðíîå
ðàñïðåäåëåíèå ϑ åñòü íîðìàëüíîå ñ ïàðàìåòðàìè (ñì. § 4)
                  nX σ −2 + µ τ −2                 1
             M=                     è    S
                                          2
                                            =              ,
                   nσ −2 + τ −2               nσ −2 + τ −2
à áàéåñîâñêàÿ îöåíêà θ åñòü àïîñòåðèîðíîå ñðåäíåå M, òî àïîñòåðèîðíàÿ
íàäåæíîñòü íå çàâèñèò îò ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîâ-
ïàäàåò ñ d-íàäåæíîñòüþ.
  Èòàê, ïðîöåäóðà ïåðâîãî ïåðåñêîêà â äàííîé ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîáëåìå
îêàçàëàñü îñíîâàííîé íà ôèêñèðîâàííîì ÷èñëå íàáëþäåíèé n∗ , êîòîðîå
îïðåäåëÿåòñÿ êàê íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó
2Φ( ∆/S ) − 1 > 1 − α, îòêóäà
                      "                2      #
                           −1                 2
                          Φ (1 − α/2)       σ
                 n∗ =                 σ    − 2 +1 .
                              ∆             τ
Ïîëó÷àåòñÿ òî, ÷òî î÷åíü ïîõîæå íà îöåíêó ñ ãàðàíòèåé ìàëîñòè θ -ðèñêà,
îäíàêî íåîáõîäèìûé äëÿ îáåñïå÷åíèÿ d-ãàðàíòèéíîñòè îáúåì íàáëþäåíèé
ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå, ÷òî îñîáåííî îùóòèìî ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ äèñïåð-
ñèè τ 2 àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè τ 2 î÷åíü ìàëî, òî
ìû àïðèîðè çíàåì, ÷òî θ ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ µ. Áîëåå òîãî, åñëè
âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, òî ñëåäóåò
ïðèíèìàòü ðåøåíèå θ = µ áåç ïðîâåäåíèÿ êàêèõ-ëèáî íàáëþäåíèé.

                                          167

Страницы