Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

S
2
θ,
S
2
X S
2
T
P, V T
V
p
A
= P
θ
(V ∈ A) θ A. η
A
( T ) = P(V ∈
A |T ). E
θ
η
A
( T ) = p
A
T E
θ
[ η
A
( T ) − p
A
] = 0 θ ∈ Θ
η
A
( T ) = P(V ∈ A |T ) = p
A
= P(V ∈ A).
T V. 2
n
f(x |θ) =
a
λ
a
x
λ+1
, x > a; θ = ( a, λ ), a > 0, λ > 0.
h(x), x > 0,
f( x |θ ) =
c( θ ) h(x), 0 < x < θ ,
0, x 6∈ [ 0, θ ] .
X
(n)
= max
16k6n
X
k
n
f( ·|·).
X
(n)
= (X
1
, . . . , X
n
), n > 2,
(θ, θ
2
)
ñðåäíåå). Ðàñïðåäåëåíèå âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè S 2 íå çàâèñèò îò θ, ïîýòî-
ìó S 2  ïîä÷èíåííàÿ ñòàòèñòèêà.
  Êàê áûëî ïîêàçàíî â îáùåì êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, X è S 2
 íåçàâèñèìûå ñòàòèñòèêè. Ýòîò ðåçóëüòàò ñëåäóåò èç ñëåäóþùåãî óòâåð-
æäåíèÿ, íîñÿùåãî áîëåå îáùèé õàðàêòåð.

  Òåîðåìà 2.2.       (òåîðåìà Áàñó) Åñëè T        ïîëíàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà

äëÿ ñåìåéñòâà   P,   òî ëþáàÿ ïîä÷èíåííàÿ ñòàòèñòèêà         V   íå çàâèñèò îò   T.
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè V  ïîä÷èíåííàÿ ñòàòèñòèêà, òî âåðîÿòíîñòü
pA = Pθ (V ∈ A) íå çàâèñèò îò θ äëÿ âñåõ A. Ïóñòü ηA ( T ) = P(V ∈
A | T ). Òîãäà Eθ ηA ( T ) = pA è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ïîëíîòû ñòàòèñòèêè
T ðàâåíñòâî Eθ [ ηA ( T ) − pA ] = 0 äëÿ âñåõ θ ∈ Θ âëå÷åò

                 ηA ( T ) = P(V ∈ A | T ) = pA = P(V ∈ A).

Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñòà-
òèñòèê T è V.         2

                               Çà÷åòíûå çàäàíèÿ



1. Íàéòè ìèíèìàëüíóþ äîñòàòî÷íóþ ñòàòèñòèêó äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìî-
   äåëè (âûáîðêà ôèêñèðîâàííîãî îáúåìà n ) äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ðàñ-
   ïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ñ ïëîòíîñòüþ
                       a  a λ+1
           f (x | θ) =            , x > a; θ = ( a, λ ), a > 0, λ > 0.
                       λ x
2. Ïóñòü h(x), x > 0,  ïîëîæèòåëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ
   îïðåäåëÿåò ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ ïëîòíîñòè:
                                    
                                     c( θ ) h(x), åñëè 0 < x < θ ,
                     f( x | θ ) =
                                         0,      åñëè x 6∈ [ 0, θ ] .

   Äîêàæèòå, ÷òî X(n) = max16k6n Xk  äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà äëÿ ñòà-
   òèñòè÷åñêîé ìîäåëè ñëó÷àéíîé âûáîðêè ôèêñèðîâàííîãî îáúåìà n èç
   ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ f ( · | · ).

3. Ïóñòü X (n) = (X1 , . . . , Xn ), n > 2,  ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà èç íîðìàëüíî-
   ãî (θ, θ2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ, â êîòîðîì ñðåäíåå ñîâïàäàåò ñî ñòàíäàðòíûì

                                            28

Страницы