Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X =
(X
1
, . . . , X
n
) (0, θ), θ >
0, f(x |θ) = I
(0, θ)
(x)/θ, x ∈ R
+
, I
(0, θ)
(x)
f 1/θ
(0, θ). X n
p ( x
(n)
|θ ) =
Q
n
i=1
I
(0, θ)
(x
i
)
θ
n
,
X
(n)
6
θ. X
(n)
T = X
(n)
(0, θ), h(t |θ) = n t
n−1
/θ
n
.
n θ
−n
θ
Z
0
g(t) t
n−1
dt = 0
θ > 0 (a, b) ⊂ (0, ∞)
b
Z
a
g(t) t
n−1
dt = 0. (2.5)
g(t) = g
+
(t)−g
−
(t), g
+
(t) −g
−
(t)
g(t)
(a, b)
b
Z
a
g
+
(t) t
n−1
dt =
b
Z
a
g
−
(t) t
n−1
dt.
A
µ
+
(A) =
Z
A
g
+
(t) t
n−1
dt µ
−
=
Z
A
g
−
(t) t
n−1
dt
îáðàùåíèÿ, ïîêàçûâàþùàÿ, ÷òî ïðîîáðàçîì ôóíêöèè, ðàâíîé íóëþ, ìîæåò
áûòü òîëüêî ôóíêöèÿ, òàêæå ðàâíàÿ íóëþ.
  Ïðèìåð 2.4    . Ïîëíîòà äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè äëÿ ñåìåéñòâà ðàñ-
ïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âûáîðêè èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü X =
(X1 , . . . , Xn )  ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà èç ðàâíîìåðíîãî íà èíòåðâàëå (0, θ), θ >
0, ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ f (x | θ) = I(0, θ) (x)/θ, x ∈ R+ , ãäå I(0, θ) (x)
 èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ, òàê ÷òî f îòëè÷íà îò íóëÿ è ðàâíà 1/θ òîëü-
êî íà èíòåðâàëå (0, θ). Ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà X èìååò n -ìåðíóþ ôóíêöèþ
ïëîòíîñòè                              Qn
                                           I(0, θ) (xi )
                       p ( x(n) | θ ) = i=1 n            ,
                                           θ
êîòîðàÿ îòëè÷íà îò íóëÿ, êîãäà êðàéíèé ÷ëåí âàðèàöèîííîãî ðÿäà X(n) 6
θ.  ñèëó òåîðåìû ôàêòîðèçàöèè X(n) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé.
Óñòàíîâèì ïîëíîòó ýòîé ñòàòèñòèêè.
   Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñòàòèñòèêà T = X(n) èìååò ðàñïðåäåëåíèå, ñî-
ñðåäîòî÷åííîå íà èíòåðâàëå (0, θ), ñ ïëîòíîñòüþ h(t | θ) = n tn−1 /θ n . Ðà-
âåíñòâî
                                Zθ
                         n θ −n    g(t) tn−1 dt = 0
                                         0
ïðè âñåõ θ > 0 âëå÷åò, ÷òî äëÿ ëþáîãî èíòåðâàëà (a, b) ⊂ (0, ∞)
                                    Zb
                                         g(t) tn−1 dt = 0.                              (2.5)
                                    a
Ïóñòü g(t) = g (t) − g (t), ãäå g + (t) è −g − (t) îáîçíà÷àþò ïîëîæèòåëüíóþ
               +       −

è îòðèöàòåëüíóþ ÷àñòè g(t) ñîîòâåòñòâåííî. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå â
ïðàâóþ ÷àñòü (2.5), ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî èíòåðâàëà (a, b)
                       Zb                            Zb
                            g + (t) tn−1 dt =             g − (t) tn−1 dt.
                       a                             a
Èç ïîñòðîåíèé ïðè îïðåäåëåíèè èíòåãðàëà Ëåáåãà ñëåäóåò, ÷òî àíàëîãè÷íîå
ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà A íà ïîëîæè-
òåëüíîé ïðÿìîé. Ñëåäîâàòåëüíî, äâå ïîëîæèòåëüíûå ìåðû
                       Z                                          Z
                                                            −
               +
             µ (A) =            +
                               g (t) t   n−1
                                               dt è µ =               g − (t) tn−1 dt
                           A
                                                                  A

                                                26

Страницы