Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
X
t=0
g(t) C
t
n
θ
t
(1 − θ)
n−t
= 0 (2.3)
θ ∈ (0; 1) g(t) = 0 t = 0, 1, . . . , n
T.
z = θ/(1 − θ),
n
X
t=0
g(t)C
t
n
z
t
= 0.
z ∈
R
+
n.
z (0, ∞)
g(t) = 0 t = 0, 1, . . . , n.
T
X = (X
1
, . . . , X
n
)
f(x |θ) = θ e
−θ x
, x > 0, θ > 0. P
X n
p ( x
(n)
|θ ) = θ
n
exp
(
−θ
n
X
1
x
i
)
,
T =
P
n
1
X
i
T
T,
T
h(t |θ) =
θ
n
Γ(n)
t
n−1
e
−θ t
.
θ
n
Γ(n)
∞
Z
0
g(t) t
n−1
e
−θ t
dt = 0 (2.4)
θ ∈ R
+
g(t) = 0 t > 0,
ñòàòèñòèêà: èç ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà
                       n
                       X
                              g(t) Cnt θ t (1 − θ)n−t = 0                        (2.3)
                        t=0

äëÿ âñåõ θ ∈ (0; 1) ñëåäóåò g(t) = 0 â òî÷êàõ t = 0, 1, . . . , n íîñèòåëÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè T.
  Ïîëîæèâ z = θ/(1 − θ), ïðåäñòàâèì (2.3) â ýêâèâàëåíòíîì âèäå
                               n
                               X
                                     g(t)Cnt z t = 0.
                               t=0
Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿåò ìíîãî÷ëåí îò ïåðåìåííîé z ∈
R+ ñòåïåíè n. Ðàâåíñòâî íóëþ ìíîãî÷ëåíà ïðè âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ
ïåðåìåííîé z èç èíòåðâàëà (0, ∞) âîçìîæíî ëèøü ïðè íóëåâûõ çíà÷åíèÿõ
åãî êîýôôèöèåíòîâ, òî åñòü êîãäà g(t) = 0 ïðè ëþáîì t = 0, 1, . . . , n.
Ñëåäîâàòåëüíî, T  ïîëíàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà.
  Ïðèìåð 2.3   . Ïîëíîòà äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè äëÿ ñåìåéñòâà ðàñ-
ïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âûáîðêè èç ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü
X = (X1 , . . . , Xn ) ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà èç ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ
ïëîòíîñòüþ f (x | θ) = θ e−θ x , x > 0, θ > 0. Ñåìåéñòâî P ðàñïðåäåëåíèé
ñëó÷àéíîé âûáîðêè X îïðåäåëÿåòñÿ n -ìåðíîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè
                                               (        n
                                                                  )
                                                        X
                    p ( x(n) | θ ) = θ n exp − θ             xi       ,
                                                        1
                                                   Pn
òàê ÷òî, â ñèëó òåîðåìû ôàêòîðèçàöèè, T =               1   Xi  äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòè-
êà. Ìèíèìàëüíîñòü T äîêàçûâàåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ ïðèìåðîì 2.1. Óñòàíîâèì
ïîëíîòó T, èñïîëüçóÿ íåïîñðåäñòâåííî îïðåäåëåíèå ïîëíîé ñòàòèñòèêè.
  Ñòàòèñòèêà T èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ
                                         θ n n−1 −θ t
                          h(t | θ) =         t e .
                                        Γ(n)
Ðàâåíñòâî
                               Z∞
                         θn
                                     g(t) tn−1 e−θ t dt = 0                      (2.4)
                        Γ(n)
                               0
ïðè âñåõ θ ∈ R+ âëå÷åò g(t) = 0 äëÿ ïî÷òè âñåõ ïî ìåðå Ëåáåãà t > 0,
ïîñêîëüêó èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (2.4) ïðåäñòàâëÿåò ïðåîáðàçîâàíèå Ëà-
ïëàñà, äëÿ êîòîðîãî, êàê è äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ñóùåñòâóåò ôîðìóëà

                                          25

Страницы