Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

T = T (X)
P = {P ( ·|θ), θ ∈ Θ},
g E
θ
g(T (X)) = 0 θ ∈ Θ g(t) = 0
P.
X = (X
1
, . . . , X
n
)
X
i
, i = 1, . . . , n,
θ 1 −θ. P X
p(x |θ) = f
n
(x
(n)
|θ) = θ
P
n
1
x
i
(1 − θ)
n−
P
x
i
,
T =
P
n
1
X
i
h(t |θ) = C
t
n
θ
t
(1 − θ)
n−t
, t = 0, 1, . . . , n, θ ∈ (0; 1).
T
T
  Êðîìå ìèíèìàëüíîñòè äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà äîëæíà îáëàäàòü åùå îä-
íèì, íå ìåíåå âàæíûì ñâîéñòâîì, íåîáõîäèìûì â ïîñòðîåíèè îïòèìàëüíûõ
ïðîöåäóð ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà.

  Îïðåäåëåíèå 2.3. Ñòàòèñòèêà    T = T (X) íàçûâàåòñÿ ïîëíîé äëÿ ñåìåé-
ñòâà âåðîÿòíîñòíûõ ìåð P = {P ( · | θ), θ ∈ Θ}, åñëè äëÿ ëþáîé èçìåðèìîé
ôóíêöèè g ðàâåíñòâî Eθ g(T (X)) = 0 ïðè âñåõ θ ∈ Θ âëå÷åò g(t) = 0
ïî÷òè âñþäó ïî ëþáîé ìåðå èç ñåìåéñòâà P.

  Êàê áóäåò âèäíî ïîçæå, ïîëíîòà ïðèíîñèò ñ ñîáîé çíà÷èòåëüíîå óïðî-
ùåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé ñèòóàöèè. Ïîëíûå äîñòàòî÷íûå ñòàòèñòèêè îñîáåí-
íî ýôôåêòèâíû ïðè ðåäóêöèè äàííûõ, ïîñêîëüêó ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå ïîëíàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà âñåãäà ìèíèìàëüíà èëè
(áîëåå òî÷íàÿ ôîðìóëèðîâêà), åñëè ìèíèìàëüíàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòè-
ñòèêà ñóùåñòâóåò, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà áûëà
ïîëíîé, íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíà áûëà ìèíèìàëüíîé. Èäåþ ïðîñòîãî äîêàçà-
òåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî íàéòè íà ñ. 68 êíèãè Ý.Ëåìàíà Òåîðèÿ
òî÷å÷íîãî îöåíèâàíèÿ.
  Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîäåëåé, îáëàäàþùèõ ïîëíûìè äî-
ñòàòî÷íûìè ñòàòèñòèêàìè.

  Ïðèìåð 2.2   . Ïîëíîòà äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè â ñõåìå èñïûòàíèé
Áåðíóëëè. Ïóñòü X = (X1 , . . . , Xn ) ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà èç äâóõòî÷å÷íîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ: êàæäîå Xi , i = 1, . . . , n, ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 ñ âåðîÿòíî-
ñòüþ θ è çíà÷åíèå 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − θ. Ñåìåéñòâî P ðàñïðåäåëåíèé X
îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè
                                                Pn                 P
                 p(x | θ) = fn (x(n) | θ) = θ     1   xi
                                                           (1 − θ)n−    xi
                                                                          ,
                                                                         Pn
à ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè T =                         1   Xi  ôóíêöèåé
ïëîòíîñòè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

          h(t | θ) = Cnt θt (1 − θ)n−t ,    t = 0, 1, . . . , n,       θ ∈ (0; 1).

  Ïî àíàëîãèè ñ ïîñòðîåíèÿìè ïðèìåðà 2.1 ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî T  ìè-
íèìàëüíàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà. Äîêàæåì, ÷òî T ïîëíàÿ äîñòàòî÷íàÿ



                                           24

Страницы