Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
0
P, T
P.
S P,
P
0
. T P
0
,
h, T = h(S). T,
P,
P. 2
P = {P ( ·|θ), θ ∈ Θ}
X = (X
1
, . . . , X
n
)
n
f(x |θ) =
1
a
λ
Γ(λ)
x
λ−1
exp
n
−
x
a
o
, x > 0; θ = (a, λ) ∈ Θ = R
2
+
.
θ
0
, θ
1
, θ
2
.
T = (T
1
, T
2
),
T
1
(X) =
a
nλ
0
0
Γ
n
(λ
0
)
a
nλ
1
Γ
n
(λ
1
)
"
n
Y
k=1
X
k
#
λ
1
−λ
0
exp
(
−
1
a
1
−
1
a
0
n
X
k=1
X
k
)
,
T
2
(X) =
a
nλ
0
0
Γ
n
(λ
0 0
)
a
nλ
2
Γ
n
(λ
2
)
"
n
Y
k=1
X
k
#
λ
2
−λ
0
exp
(
−
1
a
2
−
1
a
0
n
X
k=1
X
k
)
.
T σ
n
Y
k=1
X
k
,
n
X
k=1
X
k
!
,
ñòàòèñòèêà äëÿ    P0   è äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà äëÿ                         P,   òî   T    ìèíèìàëüíàÿ

äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà è äëÿ            P.

  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè S  ëþáàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà äëÿ P, òî
îíà, â ñèëó êðèòåðèÿ ôàêòîðèçàöèè, äîñòàòî÷íà è äëÿ áîëåå óçêîãî ñå-
ìåéñòâà P0 . Òàê êàê T ìèíèìàëüíàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà äëÿ P0 , òî
ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ h, ÷òî T = h(S). Ñëåäîâàòåëüíî, ñòàòèñòèêà T,
áóäó÷è äîñòàòî÷íîé äëÿ âñåãî ñåìåéñòâà P, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ëþáîé äî-
ñòàòî÷íîé äëÿ ýòîãî ñåìåéñòâà ñòàòèñòèêè, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé
äîñòàòî÷íîé äëÿ P.            2
  Îáùèé ïîäõîä ê èñïîëüçîâàíèþ ýòèõ ïðåäëîæåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ ìè-
íèìàëüíîé äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè âèäåí íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.

  Ïðèìåð 2.1     . Ìèíèìàëüíàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà äëÿ ñòàòèñòè-
÷åñêîé ìîäåëè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü P = {P ( · | θ), θ ∈ Θ}  ñåìåé-
ñòâî ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âûáîðêè X = (X1 , . . . , Xn ) ôèêñèðîâàííîãî
îáúåìà n èç äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ
                 1    λ−1
                          n xo
   f (x | θ) = λ     x exp −   ,                           x > 0; θ = (a, λ) ∈ Θ = R2+ .
              a Γ(λ)         a
  Äëÿ îòûñêàíèÿ ìèíèìàëüíîé äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè ðàññìîòðèì ïîä-
ñåìåéñòâî, ñîñòîÿùåå èç òðåõ ðàñïðåäåëåíèé, ïàðàìåòðû êîòîðûõ ôèêñèðî-
âàíû è ðàâíû íåêîòîðûì θ0 , θ1 , θ2 . Ñòàòèñòèêà îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ
èç ïðåäëîæåíèÿ 2.1 â äàííîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå ñîñòîèò èç äâóõ êîìïî-
íåíò: T = (T1 , T2 ), ãäå
                              "   n
                                             #λ1 −λ0         (                             n
                                                                                                      )
                anλ   n
                                                                                         X
                 0 Γ (λ 0 )                                                 1   1
                    0             Y
     T1 (X) =                           Xk             exp       −            −                  Xk       ,
                anλ   n
                 1 Γ (λ 1 )       k=1
                                                                            a1 a0
                                                                                          k=1
                              "   n
                                             #λ2 −λ0            (                          n
                                                                                                      )
            anλ   n
                                                                                         X
             0 Γ (λ0 0 )                                              1   1
                0                 Y
    T2 (X) = nλ n                       Xk             exp          −   −                        Xk       .
             a2 Γ (λ 2 )                                              a2 a0
                                  k=1                                                      k=1
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñòàòèñòèêà T ýêâèâàëåíòíà (ïîðîæäàåò òó æå σ -ïîäàë-
ãåáðó) ñòàòèñòèêå                                               !
                                   n
                                   Y                 n
                                                     X
                                         Xk ,              Xk       ,
                                   k=1               k=1
êîòîðàÿ â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2.2 ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé äîñòàòî÷íîé.

                                                23

Страницы